Funktionsgleichung 2. Grades aus Nullstellen bestimmen mit komplexen Zahlen

Question

Ich muss eine Funktionsgleichung 2. Grades erstellen. Als gegebene Größen habe ich die Nullstellen (komplexe Zahlen).

x₁= \( \sqrt{2} \)+i  x₂=\( \sqrt{2} \)-i

Mein bisheriger Ansatz lautet:

(X-(\( \sqrt{2} \)+i)) * (X-(\( \sqrt{2} \)-i))

Ist mein Ansatz bisher richtig? Irgendwie komme ich nicht weiter.

Danke :)

Answer 1

Dein Ansatz ist richtig. Jetzt noch ausmultiplizieren.

f(X)=(X-(\( \sqrt{2} \)+i)) * (X-(\( \sqrt{2} \)-i))

 =X^2-X*(\( \sqrt{2} \)+i) -X*(\( \sqrt{2} \)-i))+(\( \sqrt{2} \)+i) * (\( \sqrt{2} \)-i)

=X^2-X*2*\(\sqrt{2} \)+3

:-)

Comments

Haben Sie vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

das ist richtig , dann noch ausmultiplizieren.

Comments

Haben Sie vielen Dank!

Answer 3

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Ist mein Ansatz bisher richtig?

Ja!

Irgendwie komme ich nicht weiter

Du kannst mit den komplexen Zahlen genauso rechnen wie mit den reellen. Nur zusätzlich gilt: \(i^2 = -1\) also:$$\begin{aligned} y(x) &= \left( x - \left( \sqrt 2 + i\right) \right)\left( x - \left( \sqrt 2 - i\right) \right) \\ &= \left( \left( x - \sqrt 2\right) - i \right) \left( \left( x - \sqrt 2\right) + i\right) \\&= \left( x - \sqrt 2\right)^2 - i^2 \\&= \left( x - \sqrt 2\right)^2 + 1\\&= x^2 - 2x\sqrt 2 + 3\end{aligned}$$

und so sieht die Funktion aus:

~plot~ x^2 -2x*sqrt(2)+3 ~plot~

Comments

Haben Sie vielen Dank! Ich habe es nun verstanden :).