0 Daumen
560 Aufrufe

Gibt es lineare Polynome f,g ∈ C[x] mit f·g = 2+x²?

Avatar von

Vielleicht mithilfe der dritten binomischen Formel: \(x^2+2=(x+\sqrt2\,i)\cdot(x-\sqrt2\,i)\).

Das habe ich auch versucht... aber dann hätte man das Polynom ja einfach nur faktorisiert...oder?

Stimmt, aber diese Faktoren (Linearfaktoren!) sind genau die linearen Polynome g und h, die du suchst :-)

Das Polynom soll doch in ein Produkt \(f\cdot g\) zerlegt, also faktorisiert, werden.

Ach so.. jetzt verstehe ich.

2 Antworten

+1 Daumen

jedes komplexe Polynom vom Grad n lässt sich in n Linearfaktoren zerlegen:

 x2 + 2  =  (x - a) • (x - b)  = x2 - x·(a + b) + a·b

Koeffizientenvergleich:

a + b = 0   und  a*b = 2

GLS lösen →

a = - √2·i und   b = √2·i    oder umgekehrt  , da a,b vertauschbar:

 x2 + 2  =  (x + √2·i) • (x - √2·i)

Oder man sieht:

x2 + 2 = x2 - (√2·i)2  =   (x + √2·i) • (x - √2·i)    (3. binomische Formel )

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀
0 Daumen

\( \Bbb C[x] \) heißt, Du hast Polynome mit Koeffizienten aus \( \Bbb C \) und der "Variablen" \(x\).

Du solltest wissen, dass ein Polynom vom Grad 2 sich im Komplexen in zwei lineare Polynome zerlegen lässt.

Rechne sie aus.


* Lineare Polynome sind Nullstellen, also rechne sie aus.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community