Question

Gibt es lineare Polynome f,g ∈ C[x] mit f·g = 2+x²?

Comments

Vielleicht mithilfe der dritten binomischen Formel: \(x^2+2=(x+\sqrt2\,i)\cdot(x-\sqrt2\,i)\).

---

Das habe ich auch versucht... aber dann hätte man das Polynom ja einfach nur faktorisiert...oder?

---

Stimmt, aber diese Faktoren (Linearfaktoren!) sind genau die linearen Polynome g und h, die du suchst :-)

---

Das Polynom soll doch in ein Produkt \(f\cdot g\) zerlegt, also faktorisiert, werden.

---

Ach so.. jetzt verstehe ich.

Answer 1

jedes komplexe Polynom vom Grad n lässt sich in n Linearfaktoren zerlegen:

 x² + 2  =  (x - a) • (x - b)  = x² - x·(a + b) + a·b

Koeffizientenvergleich:

a + b = 0   und  a*b = 2

GLS lösen →

a = - √2·i und   b = √2·i    oder umgekehrt  , da a,b vertauschbar:

 x² + 2  =  (x + √2·i) • (x - √2·i)

Oder man sieht:

x² + 2 = x² - (√2·i)²  =   (x + √2·i) • (x - √2·i)    (3. binomische Formel )

Gruß Wolfgang

Answer 2

\( \Bbb C[x] \) heißt, Du hast Polynome mit Koeffizienten aus \( \Bbb C \) und der "Variablen" \(x\).

Du solltest wissen, dass ein Polynom vom Grad 2 sich im Komplexen in zwei lineare Polynome zerlegen lässt.

Rechne sie aus.

* Lineare Polynome sind Nullstellen, also rechne sie aus.