Folgende Funktion ist auf Stetigkeit in [-π,π] zu untersuchen:
f(x) = x sin 1/x falls x ≠ 0
0 falls x = 0
Kann mir jemand bitte möglichst genau erklären, wie ich bei obigem Beispiel am besten vorgehe?
Vgl. https://www.mathelounge.de/369882/untersuchen-sie-die-funktion-auf-stetigkeit-bsp-sin-fur-und
Ausserhalb von x = 0, sind g(x) = 1/x , h(x) = sin(x) und Verknüpfungen und Produkte von stetigen Funktionen stetig (habt ihr wohl bewiesen).
Nun noch die Stelle x=0.
| sin(1/x) | ≤ 1
|x * sin(1/x) | ≤ | x|
lim_(x->0) |x * sin(1/x) | ≤ lim_(x->0) | x| = 0
Da sie mit dem Funktionswert in x=0 übereinstimmt ist, f(x) auch in x=0 stetig.
die zu untersuchende Stelle ist x = 0.
Zunächst : lim x −> 0 ( + ) [ 1 / x ] = +∞
Nun ist +∞ keine Stelle auf dem Zahlenstrahl für die ein sin-Wert abgelesenwerden kann.In Richtung +∞ oszilliert der sin zwischen -1 und +1.Es ergibt sichlim x −> 0 ( + ) [ x * sin ( 1 / x ) ] = null * ( -1 .. +1 )Dies ergibt null.
Für den linksseitigen Grenzwert gilt entsprechendes.Linksseitig - Funktionswert - rechtsseitig : 0 - 0 - 0
Die Funktion ist stetig.
mfg Georg
f(x) = x sin(1/x) falls x ≠ 0
Für x ∈ [-π,π] \ {0} ist f als Produkt bzw. Kompositon stetiger Funktionen in x stetig
limx→0 f(x) = 0 = f(0)
wegen x → 0 und -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 (Sinusterm ist beschränkt)
→ f stetig in x=0
f ist also in [-π,π] stetig.
Gruß Wolfgang
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