Skalarprodukt prüfen und begründen

Question

ich habe folgende Aufgabe:

Es sind <.,.>1 und <.,.>2 zwei Skalarprodukte im reellen Vektorraum V und c ist Element R.

 Ist <v,w>=<v,w>1+c^2 <v,w>2 ein Skalarprodukt in V? (Begründe)

 nicht zwingend 0 sein. Stimmt die Vermutung?  Bzw. wenn sie falsche ist, wie zeige ich die anderen Axiome?

Ich hätte gesagt nein, weil <v,v>=0 nicht impliziert, dass auch v=0 ist, da ja auch c^2 0 sein kann und damit muss dann <v,v>2  nicht zwingend 0 sein. Stimmt die Vermutung?  Bzw. wenn sie falsche ist, wie zeige ich die anderen Axiome?

Danke

Answer 1

> weil <v,v>=0 nicht impliziert, dass auch v=0 ist, da ja auch c² 0 sein kann

Das ist nicht richtig. Wenn  c² = 0 ist, dann ist auch c² <v,v>₂ = 0. Wenn dann auch <v,v> = 0 ist, dann muss wegen <v,v> = <v,v>₁ + c²<v,v>₂ auch <v,v>₁ = 0 sein. Weil <>₁ ein Skalarprodukt ist, muss dann v = 0 sein.

Interssanter ist dann doch der Fall, dass c² ≠ 0 ist, z.B. c=1. Warum gilt denn dann <v,v> = 0 ⇔ v = 0? Oder anders gefragt, könnte es nicht sein, dass <v,v>₁ = - <v,v>₂ für ein v≠0 gilt?