Beschränktheit und Divergenz von d=2^-n + (-1)^n

Question

Ich hänge gerade an folgender Aufgabe:

Die Folge d_n = 2^-n + (-1)ⁿ ist beschränkt und divergent.

Ich weiß, dass der 2. Summand alternierend ist und definitiv divergent. Jetzt fällt mir der Beweis aber nicht leicht, erst recht nicht von beidem.

Im Skript finde ich auch keine Fälle dazu. Konvergenz haben wir sehr vertieft, das hier hingegen nicht.

Es wäre toll, wenn mir wer helfen kann.

Beschränktheit einer Folge: Es gibt eine reelle Konstante M >= 0, sodass l a_n l <= M für alle n∈ℕ

Zur Divergenz finde ich in meinem Skript nur die bestimmte Divergenz.

Answer 1

Konvergenz haben wir sehr vertieft, das hier hingegen nicht.

Dann spiele es doch darauf zurueck, indem Du zu den zwei konvergenten Teilfolgen (d_2n) und (d_2n+1) uebergehst.

Comments

Wie können die Teilfolgen denn konvergent sein?

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Mein Vorschlag ist ja, dass Du die beiden Teilfolgen explizit hinschreibst und untersuchst anstatt allgemeinphilosophische Gegenfragen zu stellen.

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Also für (-1)ⁿ haben wir schon mal die Teilfolgen b_n = (-1) und  c_n = 1

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Und bei 2^-n schrumpfen die Werte immer weiter, geht also gegen 0

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Bleibe einfach bei d_2n und d_2n+1 und rechne das aus. Neue Bezeichnungen zur zusaetzlichen Verwirrung brauchst Du nicht einzufuehren.

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Okay, habs glaube raus.. Manchmal stehe ich echt auf dem Schlauch.