Polynom in Z/6Z[x] vom Grad 2 mit drei Nullstellen finden

Question

Geben Sie ein Polynom in Z/6Z[x] vom Grad 2 an, das 3 verschiedene Nullstellen besitzt.

Comments

Vielleicht \(p(x)=3x^2\).

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Hallo nn,

das ist eine Möglichkeit. Und wie hast Du sie gefunden? Und wie sind die 3 Nullstellen?

Grüße,

M.B.

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Hat diese Funktion nicht nur zwei Nullstellen? Verstehe nicht ganz was es sich mit dem Z/6Z[x] auf sich hat?

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nein, du machst genau den gleichen Fehler wie Fakename und bildest Dir ein, dass eine Nullstelle auch gleichzeitig ein Linearfaktor sein muss. Das ist falsch.

In \( \Bbb Z/n\Bbb Z \) gibt es viele Polynome, die sich überhaupt nicht zerlegen lassen, und trotzdem Nullstellen besitzen.

Du darfst hier nicht argumentieren, wie Du es in \( \Bbb R \) oder \( \Bbb C \) tust. \( \Bbb Z/n\Bbb Z \) ist kein Körper, die Regeln von \( \Bbb R \) oder \( \Bbb C \) gelten hier nicht. Es gibt keine Zerlegung in Linearfaktoren.

Eine Nullstelle ist definiert als: Du setzt etwas (eine "Zahl") ein und es muss 0 herauskommen, und sonst gilt gar nichts.

Setze in \( 3x^2 \) alles ein, was möglich ist (das ist hier nicht viel), und drei dieser Werte erzeugen 0, die anderen etwas anderes, und damit hast Du 3 Nullstellen.

Grüße,

M.B.

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Man kann doch nur 0 einsetzen, damit da 0 rauskommt...

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für Polynome hast Du die Schreibweise \( M[T] \).

Das \( T \) stellt die Variable dar, in die Du einsetzen darfst, das \( M \) ist die Menge, aus der die Elemente stammen, die Du einsetzen darfst, und die Menge, aus der die Koeffizienten des Polynoms bestehen.

Normalerweise ist das \( \Bbb R[x] \), d.h. du hast ein Polynom mit der Variablen \( x\), mit Koeffizienten aus \(\Bbb R\) und darfst für die Variable \(x\) irgendwelche Zahlen aus \( \Bbb R \) einsetzen.

In der Schreibweise \( \Bbb Z/6 \Bbb Z[x] \) hast Du die Variable \(x\) (also nichts besonderes), die Koeffizienten des Polynoms müssen Zahlen aus \( \Bbb Z/6 \Bbb Z \) sein, und Du darfst auch nur Zahlen aus \( \Bbb Z/6 \Bbb Z \)  in \(x\) einsetzen.

Grüße,

M.B.

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Hallo L88,

nein, Du arbeitest nicht in \( \Bbb R \) sondern in \( \Bbb Z/6\Bbb Z \). (Wie oft muss ich das eigentlich noch sagen?)

Setze 1 ein, dann 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..... (sofern erlaubt).

Grüße,

M.B.

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nein, du machst genau den gleichen Fehler wie Fakename und bildest Dir ein, dass eine Nullstelle auch gleichzeitig ein Linearfaktor sein muss.

Jedes Polynom p ueber einem kommutativen Ring mit Nullstelle x₀ spaltet den Linearfaktor x-x₀ ab:

   p(x) = (x-x₀) q(x)

Im allgemeinen ist q nicht eindeutig bestimmt. Man kann aber immer ein q angeben, das einen um eins kleineren Grad als p hat.

Der Beweis dazu ist konstruktiv, einfach und uralt -- aber Dir offenbar unbekannt. Gib Dein Diplom zurueck oder rede wenigstens weniger Unsinn.

Siehe:   3x² = 3(x-2)² = 3(x-4)² = 3x(x-2) = 3x(x-4) = 3(x-2)(x-4)

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Hallo Fakename,

woher willst Du wissen, ob ich ein Diplom habe?

Aber ich werde nochmal genauer recherchieren.

Grüße,

M.B.

Answer 1

Setze p(x) = (x-x₁)(x-x₂) an. Das gibt schon mal zwei Nullstellen. Ueberlege Dir dann, wie es noch zu einer dritten kommen kann und sorge dann dafuer, dass es auch passiert.

Comments

Hallo Fakename,

das funktioniert nicht, weil Du in \( \Bbb Z/6\Bbb Z\) rechnest und keine Garantie hast, dass sich das Polynom überhaupt zerlegen lässt. Aber trotzdem kann ein nicht-zerlegbares Polynom Nullstellen haben.

Außerdem ist die Menge \( \Bbb Z/6\Bbb Z\) auch kein Körper, was nochmals Probleme macht, weil du die üblichen Rechengesetze nicht anwenden darfst.

Und wenn man so argumentierst wie Du, ist die ganze Aufgabe ein Widerspruch, da ein Polynom im Grad 2 überhaupt keine 3 Nullstellen haben dürfte (wenn wir u.a. nicht in einem Nichtkörper \( \Bbb Z/6\Bbb Z \) rechnen würden).

Grüße,

M.B.

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Das funktioniert sehr wohl. Fuer die auszufuehrenden Rechnungen und die noetige Argumentation reicht ein kommutativer Ring aus. Was Du da als "Probleme" formulierst, wird nicht gebraucht.

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da die Nullstellen gleichwertig sind, müssten alle drei Ansätze

\( p(x) = (x-x_1)(x-x_2) \)

\( p(x) = (x-x_1)(x-x_3) \)

\( p(x) = (x-x_2)(x-x_3) \)

funktionieren, was sie aber nicht tun. Aus keinem der Ansätze kannst Du auf die richtige Lösung schließen.

Grüße,

M.B.

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Tipp: Es gibt gar kein quadratisches Polynom p in ℤ/6ℤ, das genau drei Nullstellen hat. Es gibt immer noch eine vierte. Die Faktorzerlegung ist nicht eindeutig, klar. Aber man kann nicht beliebig zusammenpuzzeln. p(x) = (x-x₁)(x-x₂) = (x-x₃)(x-x₄) kommt der Sache schon naeher.

Im Uebrigen koenntest Du ja den allgemeinphilosophischen Teil einfach weglassen und meinen Tipp folgen. Dann haettest Du schon lange eine Lösung und koenntest Deine Mutmassungen daran alle mal testen!

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Hallo Fakename,

schon wieder falsch, es gibt welche. Aber die findest Du mit Deinem Ansatz nicht.

Grüße,

M.B.

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Die Behauptung, dass es immer vier sein muessen, war etwas voreilig. Ich korrigiere: Wenn man nur normierte quadratische Polynome betrachtet.

Deine Behauptung, man koenne die Linearfaktoren immer beliebig zusammenpuzzeln, ist aber trotzdem voll daneben.

Im Uebrigen ergibt mein Ansatz problemlos die Lösung x² + x auf systematische Weise. Was hast Du denn so zu bieten? Urspruenglich war das ja mal eine Frage, die man entweder mit methodischen Tipps oder einer Lösung ohne Kommentar beantworten kann. Von Dir kam weder das eine noch das andere.

Answer 2

es gibt 2 Lösungen:

\( 3x^2 \) mit \( x_1 = 0,~ x_2 = 2,~ x_3 = 4 \) und

\( 3x^2+3 \) mit \( x_1 = 1,~ x_2 = 3,~ x_3 = 5 \).

Grüße,

M.B.

Comments

wäre es erlaubt zu schreiben zB 3x ²- 18x + 6 oder muss man denn 3x² schreiben?

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Du hast als Vorgabe \( \Bbb Z/6 \Bbb Z[x] \), d.h. das Polynom darf nur Koeffizienten aus \( \Bbb Z/6 \Bbb Z \) enthalten und Du darfst nur Werte aus \( \Bbb Z/6 \Bbb Z \) einsetzen, d.h.\( 3x^2-18x+6 \) ist nicht erlaubt.

(Außerdem würde ich bei \( \Bbb Z/n \Bbb Z \) negative Werte möglichst vermeiden und durch postiive Werte ersetzen.)

Grüße,

M.B.

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Hallo gollumgollumgirl,

ich muss mich revidieren. Als Mathematiker darf man nie nach Sinn oder Unsinn fragen, sondern einzig nach richtig oder falsch (und das nur im Sinne der mathematischen Regeln).

Grundsätzlich ist richtig, das Du nur "Zahlen" aus \( \Bbb Z/6\Bbb Z \) benutzen darfst.

Hier gibt es aber ein Problem: \( \Bbb Z/6 \Bbb Z \) sind nicht die Zahlen \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \), sondern die Restklassen \( \overline0, \overline1, \dots, \overline5 \), wobei

\( \overline0 = \{ \dots,-12,-6,0,6,12,\dots \} \)

\( \overline1 = \{ \dots,-11,-5,1,7,13,\dots \} \)

usw. gilt.

Aus jeder dieser Mengen nimmst Du einen Repräsentanten, das sind nun tatsächlich Zahlen, normalerweise \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \), aber das ist nicht zwingend, Du kannst auch andere Repräsentanten nehmen.

Das bedeutet:

Ist \( 3x^2-18x+6 \) erlaubt? Ja.

Sollte man es machen? Besser nicht.

Grüße,

M.B.

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Aus jeder dieser Mengen nimmst Du einen Repräsentanten, das sind nun tatsächlich Zahlen ...

Aha. Ich will ja aber 2·3 = 0 rechnen. Wie kriege ich das nur gebacken, wenn 2 und 3 ganze Zahlen sind? Bei mir ist ja in ganzen Zahlen immer noch 2·3 = 6.

Tatsaechlich kuerzt man nur die Notation ab. Man schreibt z.B. einfach \(2\) statt \(\overline{2}\). Man meint also mit \(2\cdot3=0\) eigentlich \(\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{0}\).

Man kann also problemlos \(3x^2-18x+6\) schreiben. Nur muss man sich dann fragen lassen, ob man -18 = 6 = 0 noch nicht mitbekommen hat.