Minimalpolynom: Was heißt das Charakteristische Polynom teilt das Minimalpolynom..?

Question

Hallo alle zusammen,

ich bin immer wieder auf diesen Satz gestoßen und kann leider damit nichts anfangen...

"Da das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt und beide jeweils dieselbe Nullstellen haben..."

Was heißt das Minimalpolynom teilt charakteristisches Polynom? Kann man sowas direkt aus dem ch.polynom folgern?

habe z.B. (1-t)* (-t^3 +2*t^2 -2*t +1) dies habe ich ausgerechnet. Die Matrix A war gegeben (4x4).

so nun wie lautet das Minimalpolynom? Das Eigenwert hierzu ist 1 (ausprobieren)

hat es was mit dem Satz von Caley Hamilton zu tun?

:D

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweise: Minimalpolynom m(t) einer Matrix A teilt alle Polynome, welche A als Nullstelle besitzen...

Stichworte: minimalpolynom,nullstellen,teilt,matrix,charakteristisches-polynom,lineare-algebra

dass die Aussage stimmt dessen bin ich mir bewusst, jedoch weis ich nicht wie ich die Lösung aufschreiben soll. Bei diesem Beispiel kann die beiden Polynom in Linearfaktoren aufspalten und weil das Minimalpolynom die selben Nullstellen besitzt  wie das zweite Polynom besitzt teilt das Minimalpolynom das Polynom mit der angegebenen Eigenschaft.

wie kann ich das jetzt mathematisch aufschreiben? Ist meine Überlegung richtig?

Beweise: Minimalpolynom m(t) einer Matrix A teilt alle Polynome, welche A als Nullstelle besitzen...

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dass die Aussage stimmt dessen bin ich mir bewusst, jedoch weis ich nicht wie ich die Lösung aufschreiben soll. Bei diesem Beispiel kann die beiden Polynom in Linearfaktoren aufspalten und weil das Minimalpolynom die selben Nullstellen besitzt  wie das zweite Polynom besitzt teilt das Minimalpolynom das Polynom mit der angegebenen Eigenschaft.

wie kann ich das jetzt mathematisch aufschreiben? Ist meine Überlegung richtig?

Answer 1

Hi, wenn Du das charakteristische Polynom in Faktoren zerlegst, dann ist das Minimalpolynomm ein Teil davon. D.h. es treten im Minimalpolynom keine anderen Nullstellen auf als im charakteristischen und auch nicht mit einer höheren Vielfachheit als beim charakteristischen Polynom.