Schnittmenge bestimmen nach Gauss-Verfahren

Question

Es sind im Vektorraum ℝ³ die Mengen
V₁:={(x₁,x₂,x₃)∈ ℝ³|x₁=3x₂+x₃} und V₁:={(x₁,x₂,x₃)∈ ℝ³|2x₁=5x₃} gegeben.
x₁,x₂,x₃ waren übereinander geschrieben.
Nun soll man V₁∩V₂ (Schnittmenge) mit Hilfe des Gauss Verfahrens bestimmen und sagen was die Mengen geometrisch darstellen.
Ich habe durch das Gauss-Verfahren folgende 2 Gleichungen erhalten:
3x₂+x₃-x₁=0⇔x₁=3x₂+x₃ und0,5x₃-x₂=0⇔x₂=0,5x₃
Wie bilde ich jetzt die Schnittmenge? Einfach gegenseitig einsetzen?
Grüße

Answer 1

ich schreibe  x, y, z  für  x₁ ,  x₂ , x₃  weil mich das Indizieren nervt.

Ausgangsmatrix für Gauß-Verfahren:

⎡ 1  -3  -1  0 ⎤

⎢ 2   0  -5  0 ⎥

⎣ 0   0   0  0  ⎦    fehlende 3. Gleichung

⎡ 1  -3  -1  0 ⎤

⎢ 0   6  -3   0⎥  II - 2*I

⎣ 0   0   0   0⎦

⎡ 1  -3  -1   0⎤

⎢ 0   2  -1   0⎥    II : 3

⎣ 0   0   0   0⎦

Zeile 3  →   z ∈ ℝ beliebig

Zeile 2  →   2y = z   →  y = z/2

Zeile 1  →   x = 3y + z   →  x = 3/2 z  + z  = 5/2 z

Lösungsmenge  =  { (5/2 z  ,  z/2 ,  z ) |  z ∈ ℝ }  

Gruß Wolfgang

Comments

Die Lösungsmenge ist in deiner Rechnung auch die Schnittmenge , richtig?

Answer 2

> x₁=3x₂+x₃ und0,5x₃-x₂=0

Löse das Gleichungssystem.

Comments

Lösungsmenge={(5/2)t, (1/2)t, t}|t∈ℝ}

Und nun? Ist das die Schnittmenge? Was würde die Schnittmenge geometrisch darstellen?

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ja,, denn das ist die Menge der Vektoren, die beide Gleichungen erfüllen.

Da man einen freien Parameter (t) hat, handelt es sich um eine Gerade durch den Ursprung:

g:  \(\vec{x}\)  =  t * \(\begin{pmatrix} 5/2 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}\)