Bestimmen Sie jeweils lim sup an und lim inf an sowie alle Häufungswerte

Question

1. a_n:= ⁿ √n+(-1)ⁿ*n   (n ∈ Ν)

2. a_n:= (-1)^{n(n+1)/2* n√}1+1/n (n ∈ Ν)

Wie rechnet man das? Bitte Hilfe..

Answer 1

$$\text{ Gemeint sind wohl die Folgen: }a_{n} = \sqrt[n]{n + (-1)^{n}n}\ \text{ bzw. } a_{n} = (-1)^{\frac{n(n + 1)}{2}}\sqrt[n]{1 + \frac{1}{n}}\\ \text{ Gesucht sind jeweils die Häufungspunkte und lim inf bzw lim sup. }\\ \text{Zu 1) } \\ a_{n} = \sqrt[n]{2n} = \sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n}\text{ wenn n gerade und}\ a_{n} = 0 \text{ wenn n ungerade.}\\ \text{ Für gerade n konvergiert die Folge bekanntlich gegen 1, für ungerade gegen 0.}\\ \text{ Damit sind die Häufungspunkte 0 (lim inf) und 1(lim sup).}\\ \text{Zu 2) } \\ \text {Bei der zweiten Folge ist der Faktor vor der Wurzel abhängig von n entweder 1 oder -1 } \\ \text{während die n-te Wurzel wieder gegen 1 konvergiert. } \\ \text{Somit ergeben sich die Häufungspunkte -1 (lim inf) und 1 (lim sup).}$$