Gleichung nach x auflösen dritten Grades und zweiten -1,5x^2+0,04x^3= 600

Question

Ich habe Probleme dabei nach x aufzulösen. Die Lösung lautet x=44,93. kann mir jemand die Rechenschritte erklären? Liebe Grüße

-1,5x^2+0,04x^3= 600  

Comments

\(-1{,}5x^2+0{,}04x^3=600.\) Substituiere \(x=\frac52\cdot\left(u+\frac{25}u+5\right)\) und erhalte \(\left(u^3-605\right)^{\!2}=350400\). Berechne daraus \(u\) und damit \(x\).

Answer 1

Das ist ja nur eine Näherungslösung.

Bekommst du z.B. mit Newtonverfahren.

Answer 2

man muss die  Gleichung  0,04*x³ -1.5*x² - 600 = 0 lösen, also die Nullstellen der Funktion

f(x)  =  0,04*x² -1.5*x² - 600 berechnen.

Das geht mit den Cardanoformeln (lästig :-))

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

oder als Näherungslösung mit dem

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast und manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel einen Extrempunkt erwischt).

Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:

x	f(x)	f '(x)
50	650	150
45,66666667	81,24518519	113,2533333
44,949291	2,033451556	107,6047784
44,93039359	0,001390294	107,4576514
44,93038066	6,51653E-10	107,4575507
44,93038066	0	107,4575507

1	-601,46	-2,88
-207,8402778	-424524,2615	5807,230561
-134,737573	-125673,5074	2582,718347
-86,07817984	-37225,86884	1147,368905
-53,63362894	-11086,0765	506,0888253
-31,72823221	-3387,629064	215,9863829
-16,04377555	-1151,292568	79,01965468
-1,474076746	-603,3874744	4,682978507
127,3728683	57723,34869	1564,743105
90,48288394	16751,15757	711,0096225
66,9232062	4671,12682	336,6762448
53,0489668	1150,311666	178,556245
46,6066737	191,2541197	120,8418229
45,02399218	10,09340106	108,1872081
44,93069648	0,033938518	107,4600089
44,93038066	3,88175E-07	107,4575508
44,93038066	0	107,4575507

Gruß Wolfgang