Ableitung mit Wurzel umformen zu 1/ (√(x^2+2y^2+1)) - x^2/ ( (x^2+2y^2+1)^{3/2} )?

Question

Ich soll die ableitung bestimmen von: (nach x ableiten!)

x/ ( √(x^2+2y^2+1)  )

ich komme auf

( √(x^2+2y^2+1) - x^2/ (√(x^2+2y^2+1) )  /  ( x^2+2y^2+1 )

ich verstehe nicht wie man wenn  man das umformt auf das hier kommt

1/ ( √(x^2+2y^2+1)) -  x^2/ ( (x^2+2y^2+1^{3/2} )

ich versthe nicht wie man auf das hoch 3/2 kommt. Wie man auf dem orang mackierten Teil kommt weiss ich.

Danke:)

Answer 1

( √(x²+2y²+1) - x²/ (√(x²+2y²+1) )  /  ( x²+2y²+1 )      | (a-b)/c = a/c - b/c 

= ( √(x²+2y²+1))  /  ( x²+2y²+1 )   - x²/ (√(x²+2y²+1) )  /  ( x²+2y²+1 ) 

Comments

= ( √(x²+2y²+1))  /  ( x²+2y²+1 )   - x²/ (√(x²+2y²+1) )  *  (1/ ( x²+2y²+1 ) )  Bruchmult.

= ( √(x²+2y²+1))  /  ( x²+2y²+1 )   - (x² * 1) / (√(x²+2y²+1)  * ( x²+2y²+1 ) ) | Potenzgesetze

= (x²+2y²+1)^{1/2}  /  ( x²+2y²+1 )^1   - (x² ) / ( (x²+2y²+1)^{1/2}  * ( x²+2y²+1 )^1 )

---

= (x²+2y²+1)^{1/2  - 1}    - (x² ) / ( (x²+2y²+1)^{1/2 + 1}  ) 

= (x²+2y²+1)^{-1/2 }    - (x² ) / ( (x²+2y²+1)^{3/2}  )   | Potenzgesetze

= 1/ ( √(x²+2y²+1)) -  x²/ ( (x²+2y²+1) ^3/2 ) 

Irgendwo sind hier für den Editor 8000 Zeichen drinn. Daher Antwort in Kommentaren fortgesetzt. 

---

Einfacher ist das für mich mit der Produktregel

f(x) = x/ ( √(x²+2y²+1)  )  | In Produkt umschreiben

f(x) = x * (x²+2y²+1)^{-1/2}         | ableiten (Produktregel, Kettenregel) 

f ' (x) = 1 * (x^2 + 2y^2 + 1)^{-1/2} + x * (-1/2) * (x^2 + 2y^2 +1)^{-3/2} *2x 

1 * (x^2 + 2y^2 + 1)^{-1/2}  - (x /2) *2x* (x^2 + 2y^2 +1)^{-3/2} *2x 

= 1 / (x^2 + 2y^2 + 1)^{1/2} - x^2 * (x^2 + 2y^2 +1)^{-3/2} 

= 1 / (x^2 + 2y^2 + 1)^{1/2} - x^2 / (x^2 + 2y^2 +1)^{3/2} 

Answer 2

( √(x²+2y²+1) - x²/ (√(x²+2y²+1) )  /  ( x²+2y²+1 ) 


=  √(x²+2y²+1)  /  ( x²+2y²+1 )      - (  x²/ (√(x²+2y²+1) )  /  ( x²+2y²+1 ) 

=  1 / √(x²+2y²+1)        -    x²/ (√(x²+2y²+1)  * ( x²+2y²+1 ) ) 

=  1 / √(x²+2y²+1)        -    x²/ ((x²+2y²+1)^0,5  * ( x²+2y²+1 )¹)

= 1 / √(x²+2y²+1)        -    x²/ (x²+2y²+1)^1,5