Basen von Unterraum aus R^5

Question

Gegeben ist:

$$ U \subseteq { R }^{ 5 } \text{ durch } U = span \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{matrix},\quad \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 4 \\ 4 \\ 8 \end{matrix},\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix},\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} $$

Die eigentliche Aufgabe umfasst noch mehr, aber fürs Verständnis reicht mir die richtige Lösung zu dieser.

Ich habe das in eine schematische Schreibweise gebracht und den anschließend mittels Gauß-Algorithmus in eine Stufenform gebracht, wie folgt:

$$ \begin{matrix} 2 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & 4 \end{matrix} \rightarrow \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -\frac { 1 }{ 2 }  \\ 0 & 1 & 0 & \frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix}$$

Falls dies richtig sein sollte, weiß ich nicht, wie ich das interpretieren soll.

Alternativ habe ich das Ganze mal probiert indem ich die Vektoren als Zeilen und nicht als Spalten geschrieben habe, dafür kam dann nach einer ungleich längeren Rechnung

$$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -\frac { 16 }{ 11 }  & -\frac { 20 }{ 11 }  \\ 0 & 1 & 0 & \frac { 17 }{ 11 }  & \frac { 24 }{ 11 }  \\ 0 & 0 & 1 & \frac { 7 }{ 11 }  & \frac { 17 }{ 6 }  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}$$

heraus.

Answer 1

Hallo Rattlesnake,

ohne Zeilenvertauschung ergibt sich

[1, 0, 0,  -1/2

0, 0, 1,   1/2 

0, 1, 0,   1/2

0, 0, 0,    0

0, 0, 0,    0 ]

ist also richtig.

Rang = 3  →  maximal 3 der Vektoren sind linear unabhängig

- 1/2·[2, 0, 3, -1, 1] + 1/2·[-1, 0, 4, 4, 8] + 1/2·[1, 2, -1, 1, 1]  =  [-1, 1, 0, 3, 4]

→  { [2, 0, 3, -1, 1] , [-1, 0, 4, 4, 8] , [1, 2, -1, 1, 1]  } ist eine Basis des Unterraums. 

Gruß Wolfgang