Question

Zeigen Sie die folgende Äquivalenz:

$$an → 0 ⇔ |an| → 0$$

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Folge (an) und dem Betrag der Folge (an), wenn es sich nicht um Nullfolgen handelt?

Answer 1

lim für n gegen unendlich von a_n = 0 heißt:

Zu jedem eps >0 gibt es ein N mit n > N ⇒ | a_n - 0 | < eps

also   - eps < a_n < epsund das ist äquivalent zu- eps < | a_n | < eps


Also gilt auch

Zu jedem eps >0 gibt es ein N mit n > N ⇒ | |a_n | - 0 | < eps .q.e.d.