sei \( K \) endlich. Dann gilt für alle \( k \in K \) die Aussage \( k^{|K^*|} = k \), wobei \( K^* \) gleich \( K \) ohne die \( 0 \) sei. (~ Satz von Lagrange)
Sei nun \( f(x) = x^{|K^*|} \) und \( g(x) = x \).
Diese beiden Polynome ergeben dieselbe Auswertungsbildung für \( x \in K \), es ist \( f_1 = g_1 \), trotz \( f \neq g \). Folglich ist die so definierte Abbildung \( K[t] \rightarrow \textrm{Abb}(K, K) \) nicht injektiv.
Sei nun \( K \) unendlich groß. Dann gilt für Polynome der Form \( f(x) = k_1 x^{a_1} \) und \( g(x) = k_2 x^{a_2} \), dass \( f_1 = g_1 \) ist, genau dann wenn \( k_1 = k_2 \) und \( a_1 = a_2 \) ist.
Dieses Argument gilt auch für beliebige Polynome (Polynome mit mehr als einem Summanden): Die Differenz der Auswertungsabbildungen, \( f_1 - g_1 \), ist genau dann \( 0 \) für alle \( k \in K \), wenn \( f - g \) gleich \( 0 \) ist.
Der Grund ist, dass \( f - g = 0 \) nur (sprich höchstens) endlich viele Lösungen in \( K \) hat. Es gibt also \( k \in K \) mit \( f_1(k) - g_1(k) \neq 0 \). Wenn es aber für alle \( k \in K \) gelten soll, sprich \( f_1 = g_1 \), so muss bereits \( f = g \) gelten, weil \( K \) unendlich groß ist.
Mister
