Zeigen das eine Menge, eine Reguläre Kurve definiert

Question

zeigen sie, dass für  $$\alpha > 0 $$, $$C_\alpha = \{(x,y) \in \mathbb R ^2 | y^2 + 4x^2(x^2 -1) = \alpha \}$$ eine geschlossene reguläre Kurve ist.

Ich weiß leider nicht wie ich das zeigen soll, obwohl ich die ganzen Begriffe definieren kann und verstehe.

Geschlossen: Eine Funktion f die auf dem Intervall [a,b] definiert ist und für die gilt: f(a)=f(b)

Reguläre Kurve: Eine Kurve ist ja eine Äquivalenzklasse von Wegen. Ein Weg is heißt regulärer wenn seine Ableitung für alle Elemente aus dem Definitionsbereich ungleich 0 ist (also keinen Knick hat).

Kann mir das bitte mal jemand ausführlich erklären, wie ich diese Aufgabe löse

Mfg

Answer 1

Hallo,

mit dem Ansatz

\( x(t) = r(t) \cos(t) \),
\( y(t) = r(t) \sin(t) \)

findet man durch \( y^2 + 4x^2(x^2 - 1) = \alpha \) zunächst vier \( 2 \pi \)-periodische \( r \), aus denen man mittels der Forderungen \( r \in \mathbb{R} \) und \( r > 0 \) ein eindeutiges auswählt.

Ich komme auf

\( r = \pm \sqrt{\frac{-(1 - 5 \cos^2(t)) \pm \sqrt{(1 - 5 \cos^2(t))^2 + 16 \cos^4(t) \alpha}}{8 \cos^4(t)}} \).

Aus den "\( \pm \)" wird wegen \( r > 0 \) und \( r \in \mathbb{R} \) jeweils das "\( + \)" ausgewählt. Das \( 8 \cos^4(t) \) im Nenner mag auf den ersten Blick aus \( r \) eine nicht reguläre Größe machen, jedoch sind die Nullstellen des Nenners auch Nullstellen des Zählers, da wir zuvor das "\( + \)" aus dem inneren "\( \pm \)" ausgewählt hatten.

Da wir eine \( 2 \pi \)-periodische Darstellung von \( x(t) \) und \( y(t) \) gefunden haben, können wir auf die Geschlossenheit schließen. Die Regularität ergibt sich aus

\( v = \dot{x} \)
\( = \frac{d}{dt} \sqrt{r^2} \)
\( = \frac{dr}{dt} \).

Ist \( v(t) \neq 0 \), so ist die Kurve regulär.

Grüße

Mister