Seien \( \vec{x}_{m \neq n}:(0,2 \pi) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) Kurven mit
$$ \vec{x}_{m \neq n}(\phi)=\frac{1}{2 m}\left(\begin{array}{c} \cos (m \phi) \\ \sin (m \phi) \end{array}\right)+\frac{1}{2 n}\left(\begin{array}{c} \cos (n \phi) \\ \sin (n \phi) \end{array}\right), m, n \in \mathbb{Z} \backslash\{0\} $$
Berechnen Sie die Längen \( L\left[\vec{x}_{m \neq n}\right], \) und zeigen Sie, dass die Kurven nicht regulär (d.h. \( \exists \phi_{i} \in(0,2 \pi), \) sodass \( \vec{x}_{m \neq n}^{\prime}\left(\phi_{i}\right)=\overrightarrow{0} \) ) sind.
Die Länge hätte ich jetzt über die Formel für die Länge einer Kurve berechnet und bekomme:
\( \frac{2 \sin (n \pi+m \pi)}{n+m} \) heraus.
Wie ich aber zeige, dass die Kurven nicht regulär sind weiß ich leider nicht wirklich.