Länge einer Kurve und reguläre Kurven

Question

Seien \( \vec{x}_{m \neq n}:(0,2 \pi) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) Kurven mit
$$ \vec{x}_{m \neq n}(\phi)=\frac{1}{2 m}\left(\begin{array}{c} \cos (m \phi) \\ \sin (m \phi) \end{array}\right)+\frac{1}{2 n}\left(\begin{array}{c} \cos (n \phi) \\ \sin (n \phi) \end{array}\right), m, n \in \mathbb{Z} \backslash\{0\} $$
Berechnen Sie die Längen \( L\left[\vec{x}_{m \neq n}\right], \) und zeigen Sie, dass die Kurven nicht regulär (d.h. \( \exists \phi_{i} \in(0,2 \pi), \) sodass \( \vec{x}_{m \neq n}^{\prime}\left(\phi_{i}\right)=\overrightarrow{0} \) ) sind.

Die Länge hätte ich jetzt über die Formel für die Länge einer Kurve berechnet und bekomme:

\( \frac{2 \sin (n \pi+m \pi)}{n+m} \) heraus.

Wie ich aber zeige, dass die Kurven nicht regulär sind weiß ich leider nicht wirklich.

Answer 1

Hallo,

für \( v = \left| \frac{dx}{d\varphi} \right| \) komme ich auf

\( v = \frac{1}{2} \sqrt{ (\sin(m\varphi) + \sin(n\varphi))^2 + (\cos(m\varphi) + \cos(n\varphi))^2 } \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{ 1 + \sin(m\varphi) \sin(n\varphi) + \cos(m\varphi) \cos(n\varphi) } \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{ 1 + \cos((m-n)\varphi) } \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{ 1 + \cos^2\left( \frac{(m - n)\varphi}{2} \right) - \sin^2\left( \frac{(m - n)\varphi}{2} \right) } \)
\( = \sqrt{ \cos^2\left( \frac{(m - n)\varphi}{2} \right) } \)
\( = \left| \cos\left( \frac{(m - n)\varphi}{2} \right) \right| \).

Damit ergibt sich mit der Substitution \( \varphi' = \frac{m-n}{2} \varphi \) die Länge

\( L = \int_0^{2 \pi} v d\varphi \)
\( = \frac{2}{m-n} \int_0^{\pi (m-n)} |\cos(\varphi')| d\varphi' \)
\( = 2 \int_0^{\pi} |\cos(\varphi')| d\varphi' \)
\( = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\varphi') d\varphi' \)
\( = 4 \).

Eine Nullstelle von \( \vec{v} \) ergibt sich wegen

\( \sin(m\varphi) + \sin(n\varphi) = 2 \sin\left(\frac{(m+n)\varphi}{2} \right) \cos\left(\frac{(m-n)\varphi}{2} \right) \)

und

\( \cos(m\varphi) + \cos(n\varphi) = 2 \cos\left(\frac{(m+n)\varphi}{2} \right) \cos\left(\frac{(m-n)\varphi}{2} \right) \)

aus

\( \cos\left(\frac{(m-n)\varphi}{2} \right) = 0 \).

Auf dem Definitionsbereich \( (0, 2 \pi) \) ist

\( \varphi = \frac{\pi}{|m-n|} \)

stets eine Lösung dieser Gleichung.

Grüße

Mister