Anzahl Primfaktoren von 9n und 8n miteinander vergleichen

Question

N ist definiert als ganzzahl größer 0.

Menge A: Anzahl der Primfaktoren von 9n

Menge B: Anzahl der Primfaktoren von 8n

Nun soll festgestellt werden welche Menge größer ist bzw. ob man dies überhaupt feststellen kann.

Die lösung im buch besagt, dass nicht genügend informationen gegeben sind, um die aufgabe zu bewältigen. ABer egal welche zahl ich für N einsetzte, ich bekomme immer eine größere anzahl von primfaktoren bei Menge B raus.

Wäre super wenn mir jemand hier helfen kann!

Answer 1

Ohne dass ich jetzt länger darüber nachgedacht hätte:

Wenn k die Anzahl der Primfaktoren von N ist (wobei mehrfach auftretende Primfaktoren auch mehrfach gezählt werden), dann hat die Zahl 9 * N = 3 * 3 * N genau k + 2 Primfaktoren, nämlich die Primfaktoren von N zzgl. der beiden Dreien. Die Zahl 8 * N = 2 * 2 * 2 * N hingegen hat dann genau k + 3 Primfaktoren.

Beispiel:

N = 24 = 2 * 2 * 2 * 3 => k = 4

9 N = 216 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 => k = 6 = 4 + 2

8 N = 192 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 => k = 7 = 4 + 3

Das scheint mir doch recht einleuchtend zu sein - oder habe ich etwas falsch verstanden?

Comments

So habe ich das ja auch verstanden und demnach wäre menge b doch größer?! Aber das lösungsbuch sagt man hat nicht genügend infos um die mengen zu vergleichen und das ist es ja was ich nicht verstehe

Answer 2

Ich nehme an, dass die im Buch mehrfach auftretende Primfaktoren nur einmal zählen, sonst hat JotEs schon die Begründung gegeben.

Unter meiner Annahme

n=2

9n = 18 . Primfaktoren 2 und 3. Anzahl A ist 2

8n= 16 . Primfaktor nur 2. Anzahl B ist 1

B<A

n=3

9*3= 27. Primfaktor nur 3. Anzahl A ist 1

8*3=24. Primfaktoren 2 und 3. Anzahl B ist 2.

A<B

Folgerung: Es kommen beide Ungleichheitszeichen vor.

Comments

ah.. ok, daran habe ich nicht gedacht, dass mehrfache auftretende zahlen nur einmal zählen... danke !