Welche Form haben die Primfaktoren?

Question

Aufgabe:

Sei n = 4k + 3 (k ∈ N0). Zeigen Sie, dass nicht alle Primfaktoren der Form 4l + 1
(l ∈ N0) sind. Hinweis: Fuhren Sie einen Widerspruchsbeweis durch.

Ich weiß das nicht alle Primfaktoren die Form 4l+1 haben können da eine Multiplikation der Form 4l+1 wieder ein Ergebnis der Form 4x+1 hat. Darum muss mindestens einer der Faktoren die Form 4i+3 haben.

Wie führe ich dazu einen Widerspruchsbeweis durch und schreibe das formal an?

Lg

Answer 1

Angenommen es gibt  Zahlen n = 4k + 3 (k ∈ N0), bei denen alle Primfaktoren

von n von der Form 4q+1 mit q∈ℕ sind. Dann gibt es eine Zahl n

bei der die Anzahl dieser Primfaktoren minimal ist.

Argumentiert wird über die Anzahl a der Primfaktoren von n.

a=1 kann nicht sein, da n selbst nicht von dieser Form ist.

Also ist a≥2. Sei also  4q+1  ein solcher Primfaktor. Dann

ist n durch 4q+1 teilbar und es gibt eine Zahl m mit

n = (4q+1)*m .  Und wegen n=4k+3 folgt

4k+3 = 4qm + m also ist auch m≡3 mod 4.

m hat also weniger als a Primfaktoren. Widerspruch zur

Minimalität der Anzahl a.

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