Zeigen Sie, dass(G,o) eine Gruppe ist?

Question

Sei G eine Menge und o ∶G×G→G eine Verknüpffung auf G.

(G,o ) habe die folgenden Eigenschaften:

(G1) (G,o)ist assoziativ.

(LG2) Es existiert ein f∈G mit f o a=a für alle a∈G.

(LG3) Zu jedem a∈G existiert ein b∈G mit b o a=f.

Zeigen Sie, dass(G,o) eine Gruppe ist

(Hinweis: Zeigen Sie zuerst für alle a,b∈G, dass aus boa=f auch aob=f folgt.)

Das sind die 3 eigentschaften für die Gruppe, jedoch ist hier nur linksneutrales bzw. linksinverses gezeigt

muss ich das jetzt für rechts beweisen und wie ? wie kann man beweisen dass aus boa=f auch aob=f folgt ?

Answer 1

ich benutze lieber Buchstaben, unter denen man sich etwas vorstellen kann:

n sei das linksneutrale Element f  aus LG2   mit n * a = a        für alle a∈G

a' sei das linksinverse Element b zu a aus LG3   mit  a' * a = n         für alle a∈G                         [a" linksinvers zu a']

Du sollst wohl folgendes zeigen:

1)  a' linksinvers → a' rechtsinvers 

 zu zeigen:  a * a' = n   (wenn a' * a = n)          für alle a∈G

 a * a' = n *(a * a') = (a" * a') * (a * a') = a" * [  a' * (a * a') ] = a " * [ (a' *a) * a' ]

         = a" * (n * a') = a" * a'  = n 

2)   n linksneutral → n rechtsneutral

zu zeigen:   a * n  = n  (wenn n * a = n)           für alle a∈G

a * n = a * (a' * a) = (a * a') * a = n * a = a

Bei jedem = musst du eine Begründung aus deiner Liste angeben :-)

Im Zweifelsfall kannst du gern nachfragen.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für Ihre Hilfe. Jedoch habe ich einige Fragen

muss ich assoziativ nicht zeigen ?

wieso verknüpft man zu n ( a*a') ? und wieso verknüpft man zu (a*a') wieder (a''*a)
?

und bei 2

darf man einfach die assoziativität benutzen ? da sie unter den eigentschaften aufgelistet waren ?

---

> (G,o ) habe die folgenden Eigenschaften:

Diese Eigenschaften darfst du voraussetzen!

Musst du auch, denn aus nichts kannst du nichts beweisen :-)

---

bei 1.) wieso verknüpft man zu n (a*a') ?

bei a*a'= n*(a*a') ?

man weiß dass a'*a= n ist aus den eigentschaften

wie kommt man dann auf a*a'=n*(a*a') ?

Das bekommen Sie natürlich auf jedenfall für ihre hilfsbereitschaft und ausführliche

Antwort :)

---

> wie kommt man dann auf a*a'=n*(a*a') ?

x = n * x    und hier ist  x = a*a'

---

achsoo okay, ist verständlich. und n = ( a'' *a) oder?

---

 n = x' * x     mit x = a'    →   n = a" * a'    

---

danke für ihre hilfe und zeit :)