Liegt eine Verknüpfung vor?

Question

Hi,

Liegt jeweils eine Verknüpfung vor? Falls ja, Prüfen Sie auf Kommutativität, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und - falls ein neutrales Element existiert- welche Elemente ein Invereses haben:

a*b:= (a+b)/2

Danke :)

Comments

Verknüpfung gibt es immer nur auf einer Menge.

Welche Menge ist hier gemeint ?

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hatte mich ganz vergessen einzuloggen...

Die Menge ist R

Answer 1

Eine Verknüpfung ist eine Abbildung, die jedem Paar aus Elementen einer Menge ein Element dieser Menge zuordnet.

Ob eine Verknüpfung vorliegt, kann also nicht alleine anhand der Zuordnungsvorschrift (hier a*b:= (a+b)/2) entschieden werden. Es muss auch die Menge angegeben  werden, auf der die angebliche Verknüpfung definiert ist. Zum Beipsiel handelt es sich nicht um eine Verknüpfung auf der Menge ℤ, weil 1*2 = (1+2)/2 = 3/2 ∉ ℤ ist.

Kommutatvität gilt wohl, Assoziativität und alles Weitere eher nicht.

Answer 2

Die Verknüpfung ordnet jedem Zahlenpaar deren Mittelwert zu. Die Kommutativität ist gegeben, weil die Mittelwertbildung kommutativ ist. Die Assoziativität lässt sich leicht widerlegen: (3*5)*7 = 5,5 und 3*(5*7)=4,5. Ein gemeinsames neutrales Element n für alle Zahlen gibt es nicht, denn a*n = a bedeutet n=a und damit ist das n nicht eindeutig.

Comments

wie kommst du denn auf 5,5 und 4,5??? und ich dachte Multiplikation ist immer assoziativ?!

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Die Verknüpfung ist nicht die Multiplikation, sondern die Mittelwertbildung.

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Dann versteh' ich aber immer noch nicht wie du auf deine Zahlen kommst. Mit Mittelwertbildung meinst du doch den hinteren Teil, oder? also das (a+b)/2 ? Also muss ich mich immer auf diesen Teil beziehen wenn ich kommutativität, usw. überprüfen will?

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Das Verknüpfungszeichen * ist durch das definiert, was du "den hinteren Teil" nennst. Natürlich musst du dich  immer auf diesen Teil beziehen, wenn du Kommutativität, usw. überprüfen willst.

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Ich versteh's immer noch nicht..., 'tschuldigung

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Um eine Zahl a mit einer Zahl b zu verknüpfen, soll man beide addieren und diese Summe durch 2 teilen. Ein Beispiel: Du sollst die Zahlen 3 und 5 verknüpfen. Dann rechnest du 3+5=8 und teilst durch 2. Am Ende kommt 4 heraus. 3 vernüpft mit 5 ist also 4. Mit dem neuen Verknüpfungszeichen * (das ist nicht der Malpunkt) schreibt sich das so: 3*5=4.