Integral berechnen mit Kettenregel

Question

Wie ist die -t zu 1 geworden? Bitte schritt für schritt darstellen

Answer 1

das erste ist ein \(-t\), das zweite eine \(1\).

Grüße,

M.B.

Comments

Ja und wie kam es dazu?

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habe mich verlesen.

Der Grundgedanke ist, die Kettenregel rückgängig zu machen, d.h. Du hast eine Funktion \( f(g(x)) \), die ergibt abgeleitet \( f'(g(x))\cdot g'(x) \).

Du betrachtet hier ein Integral unter dem Gesichtspunkt der inneren Funktion \( g(x) \), das ist hier \( g(x) = 1-x^2 \). Dann hast Du die äußere Funktion \( f(x) = {1 \over \sqrt{\dots}} \), und die Ableitung \( g'(x) = -2x \). Genau genommen hast Du nur \(-x\), aber die \(2\) ist eine Konstante, die ziehst Du vor das Integral und ingorierst sie deshalb vorerst.

Dein Integral hat also die Strutkur, die sich aus der Kettenbregel ergibt, und kann dann primitiv über die äußere Funktion integriert werden.

Grüße,

M.B.

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Ja aber wie kommst du dieser 1 durch...

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Meine wohin ist das t verschwunden?

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du kannst das Integral schreiben als:

$$ \int {-t \over \sqrt{1-t^2}} \,dt = {1\over2} \int {1 \over \sqrt{1-t^2}} \cdot (-2t) \,dt $$

Nun ist der Bruch die Funktion \( f(g) \) und danach steht \( g' \). Du hast die Form aus der Kettenregel und integrierst nur den Bruch.

Grüße,

M.B.

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Danke aber vor den Integral kommt dann 2 raus da wir ja 1 durch 1:2 teilen oder?

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Bruchrechnen lernen !!!!

Wenn Du \( {1\over2} \) wieder mit \( -2 \) verrechnest, hast Du \( -1 \), wie es sein soll.

Grüße,

M.B.

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Und was hat der rot eingekreiste Teil zu bedeuten und was ist nun das Ergebnis?

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das ist das Gleiche wie oben gesagt: \( g' = -2t \). Du hast aber in Deinem Integral nur \( -t \) stehen, deshalb musst Du noch durch 2 teilen (oder mit \( {1\over2} \) malnehmen).

Formal macht Du \( -t = {1\over2}\cdot 2 \cdot (-t) \). Die \( {1\over2} \) geht vor das Integral, die \( 2 \) bleibt innerhalb. Du musst so vorgehen, weil Du die Ableitung von \(g\) brauchst, aber nicht exakt hast.

Grüße,

M.B.

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wäre gut wenn ihr Videos zu solchen Integral Rechnungen machen würdet weit ich verstehe das nicht