Mit Kettenregel Stammfunktion bestimmen

Question

Aufgabe:
2. Mithilfe der Kettenregel Stammfunktionen bestimmen
Anna sagt: Mit der Kettenregel kann man umgekehrt auch eine Stammfunktion von f bei linearer Verkettung finden. Ist zum Beispiel \( f \) mit \( f(x)=\cos (5 x+2) \) gegeben, dann ist F mit \( F(x)=\frac{1}{5} \cdot \sin (5 x+2) \) eine Stammfunktion zu f, weil beim Ableiten der Faktor 5 „ausgeglichen" werden muss, das heißt, er muss als Faktor vor der Stammfunktion des Kosinus stehen."
Nutzen Sie die Strategie von Anna und berechnen Sie folgende Integrale:
(1) \( \int \limits_{-1}^{1,5} e^{3 x+2} d x \)
(2) \( \int \limits_{-1}^{3}-\mathrm{e}^{\frac{1}{5} \cdot x+4} d x \)
(3) \( \int \limits_{0}^{\pi} \sin (3 x+1) d x \)

Problem/Ansatz: Ich schreibe morgen die Matheklausur und komme hier nicht mehr weiter. Kann jemand das rechnen kurz , die Lösung und wenn es geht auch ein Rechenweg schreiben! Wäre sehr sehr lieb!

Answer 1

\( \int \limits_{-1}^{1,5} e^{3 x+2} *d x \)

\( 3 x+2=u \)→\(  x=\frac{u-2}{3} \) →  \(  dx=\frac{1}{3}*du \) 

Begrenzungsumrechnung:

\( 3 *(-1)+2=u \)       \(u₁=-1\)

\( 3 *(1,5)+2=u \)      \(u₂=6,5\)

\( \int \limits_{-1}^{1,5} e^{3 x+2} *d x=\int \limits_{-1}^{6,5} e^{u} *\frac{1}{3}*du=[\frac{1}{3}*e^{u}] =[\frac{1}{3}*e^{6,5}]-[\frac{1}{3}*e^{-1}]≈221,6\)

Answer 2

Hallo,

für die Ableitung von e-Funktionen gilt

\(f(x)=e^{u(x)}\quad f'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}\)

a) \(f(x)=e^{3x+2}\quad u'=3\) Du überlegst, mit welcher Zahl du 3 multiplizieren musst, um als Ergebnis 1 zu erhalten. Das ist \( \frac{1}{3} \). Also lautet die Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{3}e^{3x+2}\).

b) Hier gehst du wie bei a) vor.

c) Hier gehst du vor wie beim Beispiel in der Aufgabenstellung.

Gruß, Silvia

Zur Kontrolle kannst du https://www.integralrechner.de/ verwenden.

Answer 3

Leite ab , damit kommst du leicht drauf

1) e^(3x+2) -> e^(3x+2)*3

Die 3 muss verschwinden: -> F(x) = 1/3* f(x)

Answer 4

Aloha :)

Forme den Integranden vor der Integration so um, dass die innere Ableitung als Faktor auftaucht. Dann fällt dieser Faktor bei der Integration weg und du brauchst nur das Integral der äußeren Funktion zu bestimmen:$$\int\limits_{-1}^{1,5}e^{\pink{3x+2}}\,dx=\frac13\int\limits_{-1}^{1,5}\pink3\cdot e^{\pink{3x+2}}\,dx=\frac13\left[e^{\pink{3x+2}}\right]_{-1}^{1,5}\approx221,6$$$$\int\limits_{-1}^3-e^{\pink{\frac15x+4}}\,dx=-5\int\limits_{-1}^3\pink{\frac15}\cdot e^{\pink{\frac15x+4}}\,dx=-5\left[e^{\pink{\frac15x+4}}\right]_{-1}^3\approx273,9$$$$\int\limits_0^\pi\sin(\pink{3x+1})\,dx=\frac13\int\limits_0^\pi\pink3\cdot\sin(\pink{3x+1})\,dx=\frac13\left[-\cos(\pink{3x+1})\right]_0^\pi\approx0,36$$