Stammfunktionen bilden, Kettenregel, Produktregel, Hintereinanderausführung

Question

Hallo!

Aufgabe: es handelt sich um Stammfunktionen. Ich soll hier die Stammfunktion folgender Funktion bestimmen. Ich soll die Stammfunktion anhand der Kettenregel/Hintereinanderausführung/Produktregel (je nach dem welche Regel besser passt) die Stammfunktion bestimmen. Wir haben in der Übungsstunde diesen Ansatz verwendet (z.b. H₀= F1*G1-H1 usw.). Ich habe auch versucht diesen Ansatz zu übernehmen, aber ich komme nicht weiter. Könnt ihr mit mir erklären wie ich diese Aufgabe mit diesem Ansatz (H0=F1 G1 - H1 …) rechnen muss? Der Prof. hat immer diesen Ansatz verwendet, deswegen will ich den auch beibehalten. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen

Problem/Ansatz:

c) \( \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} \)
\( \underbrace{e^{x}}_{F_{1}} \cdot \underbrace{\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}}_{g_{1}} \)
\( f_{1} \cdot G_{1} \Rightarrow H_{0}=F_{1} \cdot G_{1}-H_{1} \)
\( f_{1}=e^{x} \)
\( G_{1}= \)
\( \Rightarrow \quad H_{1}=F_{2} \cdot G_{2}-H_{2} \)

Answer 1

Aloha :)

$$\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx=\frac{1}{\green2}\int\frac{\green2e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx=\frac{1}{\green2}\int\frac{\green2e^x\cdot\pink{e^x}}{(e^x-e^{-x})\cdot\pink{e^x}}\,dx=\frac12\int\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}\,dx$$Das ist ein bekanntes Standard-Integral, weil im Zähler die Ableitung des Nenners steht:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$Damit ist$$\int\frac{e^x}{e^x-e^{-x}}\,dx=\frac12\ln\left|e^{2x}-1\right|+\text{const}$$

Comments

Danke dir tschakabumba für die erklärung, aber wir haben das mit standardintegralen nie gerechnet, wir haben die obige Methode angewandt. Könntest du mir die Aufgabe auch mit der obigen Methode erklären?

Ich poste hier mal ein Musterbeispiel, damit du die Methode des Professors besser nachvollziehen kannst. Hier das Beispiel und die Rechenvariante:

stammfkt. Ho von \( \underbrace{\left(x^{2}+1\right)}_{F_{1}} \underbrace{\cos (x)}_{g_{1}} \)
Ist \( H_{1} \) eine stammfkt. won \( f_{1} \cdot G_{1} \Rightarrow F_{1} \cdot G_{1}-H_{1}=H_{0} \)
\( \begin{array}{l}f_{1}: 2 x \\ G_{1}: \sin (x)\end{array}> \) Gesucht stammfrt. \( H_{1} \) won \( 2 x \cdot \sin (x) \)
\( \begin{array}{ll} \underbrace{2 x}_{F_{2}} \underbrace{\sin (x)}_{g_{2}} \quad H_{2} \text { stammfkt. } f_{2} \cdot G_{2} \\ & \Rightarrow H_{1}-F_{2} \cdot G_{2}-H_{2} \\ f_{2}=2 \\ G_{2}=-\cos (x) & H_{2} \operatorname{stammfunktion} \operatorname{von}-2 \cos (x) \\ & \Rightarrow H_{2}=-2 \sin (x) \\ \Rightarrow H_{1}=-2 x \cos (x)+2 \sin (x) \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { Probe } H_{1}^{\prime}=-2 \cos (x)+2 x \sin (x)+2 \cos (x)=2 x \sin (x) \\ \begin{aligned} H_{0}=\left(x^{2}+1\right) \sin (x)-(-2 x \cos (x)+2 \sin (x))= \\ =\left(x^{2}-1\right) \sin (x)+2 x \cos (x) \end{aligned} \end{array} \)
\( \text { Probe: } \begin{aligned} H_{0}^{\prime}= & 2 x \sin (x)+\left(x^{2}-1\right) \cos (x)+2 \cos (x) \\ & -2 x \sin (x)=\left(x^{2}+1\right) \cos (x) \end{aligned} \)

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So recht werde ich aus dem Gestammel von deinem Prof nicht wirklich schau. Es könnte sich um die partielle Integration als Methode handeln:$$\int u'(x)\cdot v(x)\,dx=u(x)\cdot v(x)-\int u(x)\cdot v'(x)\,dx$$

Die hilft dir hier aber nicht wirklich weiter. Wenn du die Kettenregel der Differentialrechnung anwendest:$$\left(\ln f(x)\right)'=\underbrace{\frac{1}{f(x)}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot \underbrace{f'(x)}_{\text{innere Abl.}}=\frac{f'(x)}{f(x)}$$kannst du das Integral von Brüchen, deren Zähler die Ableitung des Nenners ist, wie oben vorgemacht angeben.

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Vielen Dank Tschakabumba! Aber ich habe deine obige Variante besser verstanden, ich versuch' mal genau so zu rechnen.

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Mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

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Danke ggT22, ich kenne diesen Rechner, aber der hat mir hier auch nicht weitergeholfen, weil wir ohne Standardintegrale gerechnet haben. Hier wird auch nicht erklärt, wie sie auf das Standardintegral kommen. Aber jetzt check' ich's dank tschakabumba :)