Stammfunktion der Sinusfunktion: sin(2x)

Question

Wie lautet die Stammfunktion? Kann man hier auch ohne Additionstheoreme rechnen?

Answer 1

Solange du bei der inneren Ableitung einen konstanten wert hast, kannst du die Kettenregel der Ableitung einfach rückgängig machen.

f(x) = SIN(2x)

F(x) = -1/2*COS(2x) + C

Comments

was bedeutet konstanter wert in diesem fall?

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Die innere Funktion ist hier 2x und die Ableitung davon ist 2. Und 2 ist ein konstanter Wert.

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Wie würde ich denn z.B. e^{x^2+2} aufleiten. Hier ist die Ableitung ja kein konstanter Wert.

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Dann nimmst du meist Integration durch Substitution.

Allerdings ist das bei e^{x^2+2} trotzdem etwas schwierig. Schon e^{x^2} hat keine schöne Stammfunktion mehr.

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okay und e^{x^2+2}+1/2x geht also nicht?

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Nein. Weil man ja Summanden getrennt integriert.

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oh Entschuldigung ich meinte *1/2x statt +

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Dann geht das. Weil du dann ja außerhalb einen Faktor der inneren Funktion hast. Dann integriert man mit der Substitution.

∫ 1/2 * e^{x² + 2} * x dx

z = x^2
dz = 2x dx

∫ 1/2 * e^{z + 2} * x dz/(2x)

∫ 1/4 * e^{z + 2} dz

1/4 * e^{z + 2}

Resubstitution

1/4 * e^{x² + 2}

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 Das mit der Substitution habe ich jetzt verstanden! Aber ist e^{x^2+2}*1/(2x) nicht schon die Stammfunktion von e^{x^2+2}?

Hier ist die innere Ableitung, die ich als Kehrwert meiner Aufleitung hinzufüge, halt kein konstanter Wert, daher frage ich.

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Nein. denn e^{x^2+2}*1/(2x) müsstest du mit der Produktregel bzw. Quotientenregel differenzieren. Und dann kommt nicht deine Funktion heraus die du gerne hättest.

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Danke, aber es geht doch darum, ob es die richtige Stammfunktion ist. Eine Stammfunktion muss ja nicht integriert werden, das ist doch das Ergebnis meiner Aufleitung von e^{x^2+2}. Und die Frage ist ob die Aufleitung richtig ist?

Kurz gesagt:

f(x) = e^{x^2+2}

F(x) = e^{x^2+2} * 1/(2x) ????

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Nein. Ist sie nicht. Leite doch einfach F(x) ab. Dann siehst du schon, dass es nicht passt, weil du zum Ableiten die Quotientenregel verwendest.