Stammfunktion von Wurzel f(x)= √(x-2) und g(x) = √ ( (x-4) / (x-3) )

Question

Gesucht ist die Stammfunktion von                       √(x-2)

 

ich dachte mir   (x-2)^0.5            klar ist die Stammfunktion   muss irgendwas   (....)^1.5 haben

dann mit der kettenregel rückwärts bin ich auf      (x-2)^1.5  /     1.5x        gekommen  also nur durch Versuchen   ....

 

Kann mir mal Jemand bitte allgemein erklären wie ich so eine Stammfunktion bild und wie ist dass dann bei solchen

 

g(x) = √    ( (x-4)  /    (x-3) )              also    alles unter der Wurzel

 

Bitte um eure Hilfe

Comments

In deiner ersten Lösung ist natürlich das x im Nenner falsch; die Lösung durch Probieren zu finden, ist übrigens gar nicht schlecht! Mit etwas Erfahrung geht das wesentlich schneller als eine Substitution.

Und "die Stammfunktion" ist sicher nicht gesucht.

Answer 1

das erste ist so wie Du das gelöst hast, völlig richtig und ein akzeptabler Weg.

Alternativ könnte man allerdings kurz substituieren:

 

x-2 = u und du=dx

Es ergibt sich also ∫√u du

Das zu intergrieren sollte bekannt sein. Man kommt dan direkt auf das von Dir bereits bekannte Ergebnis. Achte bitte darauf, dass Du noch ein +c anhängst ;).

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Beim zweiten ist das schon ein wenig kniffliger.

Aber auch hier empfehle ich die Substitution:

√(x-4)= u -> du = 1/(2√(x-4)) dx

Das eingesetzt (und vorsicht, beim ersetzen von dx durch den Ausdruck 2√(x-4) du kommt ja eine weitere Wurzel ins Spiel. Diese ebenfalls direkt mit u ersetzen)

Solltest dann hierauf kommen:

2∫u^2/(1+u^2) du

 

Das schreit nun direkt nach arctan:

2∫(1-1/(1+u^2)) du

Wenn man das nicht direkt sieht -> Polynomdivision ;).

 

2∫1 du - 2∫1/(1+u^2) du

->

2u - 2arctan(u) + c

 

Nur noch resubstituieren und fertig:

2√(x-4) - 2 arctan(√(x-4)) + c

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Vllt um auf

2∫u²/(1+u²) du

zu kommen nochmals einen Schritt langsamer:

 

∫√((x-4) /(x-3)) dx =  {Subst: √(x-4)= u -> du = 1/(2√(x-4)) dx }

= ∫ u/(x-3) * 2√(x-4) du = =2*∫ u/(x-3) * u du

=2 ∫ u^2/(x-3)du

 

Für den Nenner: Substitution √(x-4)= u nach x auflösen: x=u^2+4

-> =2 ∫ u^2/(u^2+4-3)du -> =2 ∫ u^2/(u^2+1)du

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ich bin irgendwie zu schlecht um das zu verstehen ...........

 

=  {Subst: √(x-4)= u -> du = 1/(2√(x-4)) dx }

= ∫ u/(x-3) * 2√(x-4) du = =2*∫ u/(x-3) * u du

 

von da nach da .......... du leitetest u ab das ist u´  ok ....   aber wie kommst du dann auf

= ∫ u/(x-3) * 2√(x-4) du     ?

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Dir ist die Substitution ein Begriff?

Dann sollte Dir bekannt sein, dass Du ursprünglich nach x ableitest, also auch ein dx dabei hast, aber nach der Substitution nach u ableitest, Du also dx nach du umformen musst. Das ist in der geschweiften Klammer gezeigt.

Da habe ich dann nur noch dx durch du ersetzt.

= ∫ u/(x-3) * 2√(x-4) du

(Der grüne Teil war vormals dx)

und wie oben angezeigt vollens umgeformt.

 

Klar? :)

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substituieren klar ...... aber auf dem niveau :(   ..... trotzdem vielen dank chef

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Üben üben junger Schüler, dann wird das schon^^.
Wenn noch was unklar ist...ich bin noch da^^.


Btw. Ché Netzer hat es gerade angesprochen. In Deiner Lösung zum ersten Teil ist ein x im Nenner, welches da nichts verloren hat. Das hatte ich übersehen ;).

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Nochmal .......

 

wie kommt von

  ∫    √ ( u²    /    1+u²)     dx

nach

∫ u/(x-3) * 2√(x-4) du

 

wieso 2√(x-4)       die Ableitung von u ist doch    1    /    2√x-4

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Vorsicht:

du = 1/(2√(x-4)) dx

Wir ersetzen nun aber dx folglich müssen wir erst nach dx umstellen.

du = 1/(2√(x-4)) dx   |*2√(x-4)

2√(x-4) du = dx

 

Das wird nun ersetzt.

 

;)

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genial tausend danke endlich verstehe ich es :)

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Wenn es nur daran gelegen hat, ist ja nun gut :D.


Gerne

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hast du schon bei wolfram alpha überprüft ..... die zeigen da aber was anderes :(

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Generell vertraue ich meinen Rechenkünsten :P. Sollte passen.

Hast Du es vielleicht falsch eingetippt?

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Ah ich sehe gerade, dass wir von verschiedenen Funktionen ausgehen.

Du:

g(x) = √( (x-4)  /    (x-3) )     

Ich:

g(x) = √(x-4)/ (x-3)     

Durch die ewiglange Verzerrung hatte ich wohl den Überblick verloren. So auf kurz sieht das von Dir bedeutend komplexer aus. Sicher, dass das von Dir beschriebene gemeint ist?

Wenn ja, kannst Du Dich ja mal selbst versuchen^^.

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dann lassen wir das lieber ich will ja nicht deine wertvolle Zeit zerstören ........ war eine selbstüberlegte aufgabe ...... versuche mich mal irgendwie weiter mit so ähnlichen aufgaben ....... Danke für alles ;)

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Hmm, es ehrt Dich Dich an Aufgaben zu versuchen.

Wenn Du üben willst empfehle ich Dir allerdings, Übungen aus dem Internet zu nehmen. Dort ist zumeist gewiss, dass ein akzeptables Ergebnis rauskommt.


Habe Deinen Vorschlag gerade mal in wolfram eingegeben -> Es ist wie ich mir den Lösungsweg kurz selbst skizziert hatte -> bedeutend komplizierter als ersteres.

Der von mir interpretierte Vorschlag ist vom Schwierigkeitsgrad aber in Ordnung (auch gerade mit wolfi kontrolliert und mein Ergebnis passt^^). Ist sogar eine recht schöne Aufgabe. Nicht allzu komplex und doch mehrere essentielle Elemente. Lerne diese zu verstehen und einzusetzen und gehe dann an selbsterfundene Aufgaben^^.

Das war ja auch das Problem mit dem Dreieck. Die selbsterfundene Aufgabe war schwer zum Lösen (falls sie das überhaupt ist :P).


Und wegen der Zeit. Ich mache Mathe gerne (deswegen bin ich hier). Diese (Zeit) soll also keine Rolle spielen. Im Speziellen da ich bei Dir weiß, dass sie nicht nutzlos ist. Dank in Form von Worten und Zugeständisse des "Verstanden habens" (oder Daumen/Sterne) sind Lohn, der mir genug ist und den Du ja überschwänglich ausschüttest :D.

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Hört man gerne , hast zu Recht Platz 1 verdient und hoffe auch, dass du mir auch in der Zukunft hilfst :)

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Danke^^.


Und ja, ich werde mich weiterhin umtreiben. Wir werden uns also sicher noch über den Weg laufen und Du wirst Dir weiterhin meine besserwisserischen Kommentare anhören dürfen^^.

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Bis der Tod euch scheidet.