Bilden die Vektoren (1,3,0), ... aus R^3 eine Basis des selbigen?

Question

basis der eigenen von vektoren

Wie genau berechne ich denn dies :/

Komme nicht weiter

Was ust mit basis der eigenen gemeint

Answer 1

Du sollst überprüfen, ob die drei Vektoren, die in \(\mathbb R^3\) liegen, eine Basis von \(\mathbb R^3\) sind. Statt "des selbigen" könntest du oben auch "desselben", "dieses Vektorraums" oder etwas Ähnliches schreiben.

Du hast drei Basisvektoren und einen dreidimensionalen Vektorraum. Damit kannst du dir aussuchen, ob du die lineare Unabhängigkeit zeigst:

$$a\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \Rightarrow a=b=c=0.$$

Also ein Gleichungssystem in drei Variablen lösen.

Oder du zeigst, dass jeder Vektor \(x\in\mathbb R^3\) von \(\left(\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)\) erzeugt wird:

$$\forall x\in \mathbb R^3\exists a,b,c\in\mathbb R\!:\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}.$$