Wie kann ich prüfen, ob folgende Vektoren eine Basis von R^3 bilden?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien folgende Vektoren:

(i) \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 7 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 6 \\ 5\end{array}\right) \);

(ii) \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 6 \\ 5\end{array}\right) \);

(iii) \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right) \);

Prüfen Sie ob diese Vektoren eine Basis von R^3 bilden.

Problem/Ansatz:

Könnte ich nicht die Vektoren als Matrixspalten schreiben und daraus die Determinante berechnen um herauszufinden on diese eine Basis bilden?

Bsp i:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 7 & 5 & 6 \\ 1 & 9 & 5 \end{pmatrix}$$

$$det(A) = 0$$

Da die Determinante 0 ist, ist sind die gegebenen Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis.

Nur dann bin ich mir unsicher, wie man (iii) berechnet.

Wie berechne ich dies dann?

Answer 1

Hallo

entweder mit der Det oder indem du die Matrix auf Dreieckgestalt bringst kannst du zeigen, ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind, und damit eine Basis bilden.

2 Vektoren können nur die Basis eines UVR von R^3 sein nicht von R^3 selbst,

Gruß lul

Comments

Ahh, verstehe.

Danke für die schnelle Antwort!