Sei (G,+) eine abelsche Gruppe, so dass für alle a ∈ G gilt 2a = 0. besser vielleicht a + a = 0
Wir definieren eine skalare Multiplikation durch
·: Z/2Z×G → G,0·a = 0,1·a = a für alle a ∈ G.und die Addition ist dann die in G definierte Addition.
Zeigen Sie, dass G dadurch zu einem Z/2Z -Vektorraum wird.
Du musst die Vektorraumaxiome prüfen: ( also V ist hier G ) und der
Körper K ist Z/2Z .
In der Notation von
https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definitionwäre V1 bis V4 erfüllt durch: Sei (G,+) eine abelsche Gruppe
S1 bis S4 muss man nur nachrechnen, folgt alles aus der
Definition ·: Z/2Z×G → G,0·a = 0,1·a = a für alle a ∈ G.etwa S1:
Da der Körper nur 2 El. hat, kannst du alle Fälle leicht testen
0*(u+v) = 0*u + 0*v gilt weil
0 = 0 + 0
1*(u+v) = 1*u + 1*v gilt weil
u+v = u + v
S2: ( so ähnlich)
(0+0)*v = 0*v+0*v gilt weil
0*v = 0 + 0
0 = 0 + 0
(1+0)*v = .....
( 0+1)*v .....
(1+1) *v = .... (hier brauchst du nachher a+a=0 (s.o)
