Konvergenz der Reihe ∑ ((-1)^{n+1}) / (3n + (-1)^n * n).

Question

Hallo liebe Mathe-Lounge Community,ich sitze vor folgender Reihe und soll deren Konvergenz, bzw. Divergenz zeigen:  

∑ ((-1)^{n+1}) / (3n + (-1)^n * n).  

Meine Vermutung ist, dass die Reihe divergiert.Wurzelkriterium, sowie Quotientenkriterium liefern keine Aussage.Hätte jemand einen Tipp für mich, der mich der Lösung der Aufgabe näher bringt?Danke euch im Voraus!

Comments

Gegen Leibniz spricht wohl, dass die Summanden keine monotone Nullfolge bilden. (?)

Versuche mal jeweils 2 Summanden zu einem zusammenzufassen. 

Dann diese "Pärchen" addieren und schauen, was du für Summanden hast. 

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Ist das dein Ernst ?

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Edit :  Das Verfahren führt hier tatsächlich zur Lösung der Aufgabe.

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Nach meinen Berechnungen ist$$\sum_{n=1}^{2N}\frac{(-1)^{n+1}}{3n+(-1)^n\cdot n}=\sum_{n=1}^N\frac{2n+1}{8n(2n-1)}$$für alle \(N\in\mathbb N\). Daraus sollte die Divergenz der Reihe folgen.