Kurvendiskussion: y = 3x^3 + 81. Problem mit Ableitung, Extrema und Wendepunkt.

Question

Hallo !!

Ich muss eine komplette kurvendiskussion durchführen und komme nicht weiter.

Aufgabe: 3x^3+81

Ich habe mit der Nullstellenbestimmung begonnen und Ergebnis:

Nur eine Nullstelle bei -3.

Extrema:

Und nun hänge ich.

Ich habe schwierigkeiten die Ableitungen zu bilden und die daraus resultierenden Extrempunkte und Wendepunkte.

Wer kann mir bitte weiterhelfen?

Danke

Answer 1

Das ist ein Polynom 3. Grades. 

y = 3x³ + 81

y' = 9x^2  = 0

x1 = x2=0

nur eine doppelte Nullstelle: Also keine Extremalstelle sondern ein Terrassenpunkt T(0|81). T(0|81) ist zudem der Wendepunkt, denn:

y'' = 18x = 0 heisst x = 0.

W(0|81)

Answer 2

Hi susann,

Die Ableitung kannst Du Summandenweise bestimmen. Der letzte Teil ist konstant, verbleibt also nur 3x^3.

f'(x)=9x^2

f''(x)=18x

f'''(x)=18

 

Nullstelle:

Hast Du bereits korrekt bestimmt. x=-3

 

Extremstellen:

f'(x)=0 -> 9x^2=0 -> x=0

Überprüfen mit f''(x)≠0

f''(0)=0

-> keine Extremstelle

 

Wendepunkt:

f''(x)=0 und f'''(x)≠0

f''(x)=0 -> 18x=0 -> x=0

Überprüfen mit f'''(0)=18≠0 passt also.

 

Wir haben also an der Stelle x=0 einen Wendepunkt. Es ist sogar ein Sattelpunkt, da f'(0)=0.

Den Punkt selbst erhält man über f(0)=81 (also den y-Wert des Punktes)

 

Wendepunkt bei W(0|81)

 

Alles klar?

 

Grüße