problem bei herleitung des goldenen schnitts

Question

Guten Tag liebe Community,

ich habe eine Frage bei zur Herleitung des Goldenen Schnitts.

Nachdem ich einige Schritte gegangen bin (

a+b/a= a/b | *b *a

(a+b)* b= a^2 | -a^2

-a^2+ab+b^2=0 | *-1

a^2-ab-b^2= 0

p/q- Formel anwenden: ?

),

 bin ich bei a^2-ab-b^2 hängen geblieben. Ich kann den darauf folgenden Schritt allerdings nicht nachvollziehen.

a1;a2= b/2 ±√(b/2)^2+b^2

Warum wird b anstatt a in der p/q- Formel eingesetzt?! Diese lautet ja: -p/2 ±√(p/2)^2-q

Dann müsste aber doch in dem Fall a das p sein, oder nicht? Denn es gilt ja: ax^2+px+q

Vermutlich ist das bei mir einfach ein Verständnisproblem gerade.

Ich freue mich über eine Antwort!

,

FürstDerMathematik

Answer 1

a^2 - a·b - b^2 = 0

x^2 - b·x - b^2 = 0

p = -b ; q = -b^2

x = -(p/2) ± √((p/2)^2 - q)

x = b/2 ± √(b^2/4 +b^2)

x = b/2 ± √5/2·b

x = (0.5 ± 1.118033988)·b

x = 1.618033987 die negative Lösung ist nicht im Definitionsbereich

Answer 2

Die Gleichung für die Berechnung des goldenen Schnittes heißt (a+b)/b=b/a umgeformt zu  a/b+1=b/a. Setzte b/a=q. Dann ist a/b=1/q und die Gleichung lautet 1/q+1=q. Alles mit q multiplizieren 1+q=q² oder q²-q-1=0. Die Beträge der Lösungen sind die Verhältnisse des goldenen Schnittes.