Verhältnis zweier Fibonacci Zahlen konvergiert gegen den goldenen Schnitt

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Zeigen Sie, dass das Verhältnis (F_n+1)/F_n zweier Fibonacci Zahlen F_n und F_n+1, n ist aus den natürlichen Zahlen, bei n gegen Unendlich gegen den goldenen Schnitt konvergiert.

Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich dabei vorgehen soll.

Vielen Dank für Hilfe :)
Liebe Grüße

Answer 1

Wenn q=(F_n+1)/F_n für n gegen Unendlich, dann ist auch q=F_n/F_n-1 und folglich 1/q=F_n-1/F_n für n gegen Unendlich.

Außerdem ist (F_n+1)/F_n = (F_n+F_n-1)/F_n = 1+F_n-1/F_n ful alle n und damit q=1+1/q Das ist letztlich die quadratische Gleichung q²-q-1=0 mit den Lösungen q_1/2=1/2 ± √5/2.