Stimmt diese Aussage? 3. Polynomfunktion hat genau zwei Wendepunkte

Question

Mein Lehrer gibt uns jede Woche so ein Art Quiz, um festzustellen, ob wir das Thema gut verstanden haben.
Nun gibt es eine Aussage die lautet so: Es gibt eine Polynomfunktion 3. Grades, deren Graph genau zwei Wendepunkte aufweist. --> Ja oder nein?Ich bin mir nicht sicher, was die Antwort sein könnte. Wir haben mal im Unterricht gelernt, dass jeweils eine Polynomfunktion 4. Grades zwei Wendepunkte aufweist. Deshalb bin ich auch recht verwirrt über diese Frage.LG

Answer 1

Ein Polynom 3. Grades hat exakt einen Wendepunkt. Keinen mehr und keinen Weniger.

Das liegt daran das man die 2. Ableitung bildet die ja den Grad 1 hat und die gleich null setzt. Die Lineare Gleichung hat exakt eine Lösung.

Comments

Ein Polynom 4. Grades könnte 2. Wendepunkte aufweisen. Muss sie aber nicht.

y = x^4 hat keinen einzigen Wendepunkt.

Answer 2

an einer Wendestelle muss die 2. Ableitung der Funktion 3. Grades = 0 sein.

Diese 2. Ableitung hat aber immer den Grad 1 (lineare Funktion) und damit genau eine Nullstelle x₁ mit  f ''' (x₁) ≠ 0

→  Funktion 3. Grades  hat genau einen Wendepunkt 

Gruß Wolfgang

Answer 3

Die 1. Ableitung einer Funktion dritten Grades ist 2. Grades und hat zwei Nullstellen oder keine. Die 2. Ableitung ist dann ersten Grades und hat eine Nullstelle, also gibt es genau einen Wendepunkt.

Grundsätzlich lässt sich bei Polynomfunktionen der Grad der 2. Ableitung feststellen und damit auch die Maximalzahl der Wendepunkte

Answer 4

> Es gibt eine Polynomfunktion 3. Grades, deren Graph genau zwei Wendepunkte aufweist

Leite die Funktion f(x) = ax³ +  bx² + cx + d zwei mal ab und bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung.

> Wir haben mal im Unterricht gelernt, dass jeweils eine Polynomfunktion 4. Grades zwei Wendepunkte aufweist.

Und was ist mit f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1? Die hat überhaupt keinen Wendepunkt.