Wie berechne ich E(Y^r) und Var(Y)?

Question

Abend :)
Ich muss bei einer Aufgabe den Erwartungswert von Y^r berechnen und Var(Y). Leider muss ich zugeben, dass ich da überhaupt keine Ahnung habe, wie ich die Aufgabe angehen soll.
X(Ω) = {0, 1, . . . , n}, n ∈ N und X ∼ Bin(n, p), p ∈ (0, 1), g(x) = 2x , Y=g(x), r ∈ℕ
Das habe ich bisher:$$ E({ Y }^{ r })\quad =\sum _{ x\in \Omega  }^{  }{ [g(x)]^{ r } } \cdot \quad P(X=x)\quad =\quad \sum _{ k\quad =\quad 0\quad  }^{ n }{ { 2 }^{ kr } } \cdot \quad \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) \cdot p\cdot { (1-p) }^{ n-k } $$
Danke schon einmal für eure Hilfe!

Comments

Kann es sein, dass da \( (2k)^r \) statt \( 2^{kr} \) stehen soll?

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Es fehlt auch ein \( k \) über dem \( p \), oder? Es muss sein \( \binom{n}{k} p^k \) statt \( \binom{n}{k} p \).

Answer 1

die Formel stimmt fast. Du kannst schreiben

\( \mathbb{E}(Y^r) = \sum_{x \in \Omega} (g(x))^r P(X = x) \)

\( = \sum_{k=0}^{n} (2k)^r \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)

\( = 2^r \sum_{k=0}^{n} k^r \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

\( = 2^r \mathbb{E}(X^r) \).

Das heißt, das \( r \)-te Moment von \( Y \) lässt sich über die obige Formel auf das \( r \)-te Moment von \( X \) zurückführen.

Wenn dir nun momentenerzeugende Funktionen geläufig sind, dann kannst du (https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Momenterzeugende_Funktion) die momentenerzeugende Funktion von \( X \) nutzen. Sie lautet

\( m_X(s) = (p e^s + (1-p))^n \).

Das \( r \)-te Moment von \( X \) ist

\( \mathbb{E}(X^r) = \frac{d^r}{ds^r} m_X(s) \mid_{s = 0} \).

Das \( r \)-te Moment von \( Y \) ist folglich

\( \mathbb{E}(Y^r) = 2^r \mathbb{E}(X^r) = 2^r \frac{d^r}{ds^r} m_X(s) \mid_{s = 0} \).               (1)

Die Varianz von \( Y \) ist

\( \mathrm{Var}(Y) = \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2 \).

Diese kannst du mit Hilfe des vorher durch (1) berechneten ersten und zweiten Moments von \( Y \) ausrechnen.

Mister