Berechne E(X), Var(X) und konvergenz

Question

Aufgabe:

”Wiedererkennung“: Von n Erwachsenen (die man kennt oder gezeigt bekommt) wird jeweils ein Bild mit dem Gesicht aus der Babyzeit gezeigt. Ein
Beobachter wird gefragt, welcher Erwachsene zu welchem Babygesicht passt.
Sei X die Anzahl der richtigen Antworten (wobei der Beobachter zufällig zuordnet). Berechne E(X), Var(X) und P(X = k), k ∈ {0, . . . , n}. Konvergiert
P(X = k) fur ¨ n → ∞ und, falls ja, wogegen?

Problem/Ansatz:

den erwartungswert berechnet man mithiilfe das intergral von X

Var(X) = E(X²) − (E(X))² wie wendet man das jedoch au dieses beispiel an

Die Konvergenz (Xn)n∈N konvergiert stochastisch gegen X, kurz Xn -> X wenn lim P(|xn-x| > e) ist

Answer 1

Aus n Bildern von Erwachsenen und n Bildern von Babies ein passendes Paar zuzuordnen, ist vergleichbar mit der Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln gleiche Augenzahl zu erhalten. Somit gilt

$p( \text{Antwort richtig}) = \frac{1}{n}$

Unter Verwendung der Binomialverteilung gilt dann

$E(X) = n *p = 1$

$VAR(X) = n * p * (1-p) = n * \frac{1}{n} * \frac{n-1}{n} = \frac{n-1}{n}$

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$p(X = k) = ( \begin{array}{} n\\k \end{array} ) * p^k * (1-p)^{n-k}$ ist für alle k € {0,1,2,3...,n} definiert.

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$\lim\limits_{n\to\infty} p(X = k) = 0$

Das gilt für alle Binomialverteilungen B(n;k;p) völlig unabhängig von p. Um den Beweis trotzdem zu führen:

Die Dichtefunktion der Binomialverteilung erreicht das Maximum für k = n/2, daraus folgt

$\lim\limits_{n\to\infty} p(X = k) <= ( \begin{array}{} n\\ \frac{n}{2} \end{array} ) * (\frac{1}{n})^{\frac{n}{2}} * (\frac{n-1}{n})^{\frac{n}{2}}$

mit n = 2*m:

$\lim\limits_{m\to\infty} p(X = k) <= ( \begin{array}{} 2m\\ m \end{array} ) * (\frac{1}{2m})^m * (\frac{2m-1}{2m+1})^m$

Der letzte Faktor konvergiert zu 1:

$\lim\limits_{m\to\infty} p(X = k) <= \frac{(2m)!}{m!*m!} * (\frac{1}{2m})^m$

Wegen $(2m)! < (2m)^m$:

$\lim\limits_{m\to\infty} p(X = k) <= \frac{1}{m!*m!} = 0$