Aus n Bildern von Erwachsenen und n Bildern von Babies ein passendes Paar zuzuordnen, ist vergleichbar mit der Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln gleiche Augenzahl zu erhalten. Somit gilt
\( p( \text{Antwort richtig}) = \frac{1}{n} \)
Unter Verwendung der Binomialverteilung gilt dann
\( E(X) = n *p = 1 \)
\( VAR(X) = n * p * (1-p) = n * \frac{1}{n} * \frac{n-1}{n} = \frac{n-1}{n} \)
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\( p(X = k) = ( \begin{array}{} n\\k \end{array} ) * p^k * (1-p)^{n-k} \) ist für alle k € {0,1,2,3...,n} definiert.
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\( \lim\limits_{n\to\infty} p(X = k) = 0 \)
Das gilt für alle Binomialverteilungen B(n;k;p) völlig unabhängig von p. Um den Beweis trotzdem zu führen:
Die Dichtefunktion der Binomialverteilung erreicht das Maximum für k = n/2, daraus folgt
\( \lim\limits_{n\to\infty} p(X = k) <= ( \begin{array}{} n\\ \frac{n}{2} \end{array} ) * (\frac{1}{n})^{\frac{n}{2}} * (\frac{n-1}{n})^{\frac{n}{2}} \)
mit n = 2*m:
\( \lim\limits_{m\to\infty} p(X = k) <= ( \begin{array}{} 2m\\ m \end{array} ) * (\frac{1}{2m})^m * (\frac{2m-1}{2m+1})^m \)
Der letzte Faktor konvergiert zu 1:
\( \lim\limits_{m\to\infty} p(X = k) <= \frac{(2m)!}{m!*m!} * (\frac{1}{2m})^m \)
Wegen \( (2m)! < (2m)^m \):
\( \lim\limits_{m\to\infty} p(X = k) <= \frac{1}{m!*m!} = 0 \)
