Transformationsmatrix:
Gegeben seien zwei nicht-orthogonale Basen \( \mathcal{B}^{\prime}=\left\{\mathbf{f}_{1}, \mathbf{f}_{2}\right\} \) mit \( \mathbf{f}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{f}_{2}= \)
\( \left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right) \) und \( \mathcal{B}^{\prime \prime}=\left\{\mathbf{h}_{1}, \mathbf{h}_{2}\right\} \) mit \( \mathbf{h}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{h}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) \). Gegeben sei weiter ein Vektor \( \mathbf{v} \) mit Koordinaten \( \left(v^{\prime 1}, v^{\prime 2}\right)=(1,1) \) in der Basis \( \mathcal{B}^{\prime} \).
a) Von einer zur nächsten Basis wird mittels \( \mathbf{h}_{i}=a_{i}^{j} \mathbf{f}_{j} \) transformiert. Bestimmen Sie die Transformationsmatrix \( a_{i}^{j} \) für die angegebenen Basisvektoren.
b) Berechnen Sie die Koordinaten \( v^{\prime \prime i} \) in der Basis \( \mathcal{B}^{\prime \prime}\) .
c) Berechnen Sie den metrischen Tensor \( g_{i j}^{\prime \prime} \) für die Basis \( \mathcal{B}^{\prime \prime} \) (wobei \( g_{i j} \) in der Standardbasis \( \mathcal{B}=\left\{(1,0)^{T},(0,1)^{T}\right\} \) die euklidische Metrik sei).
d) Berechnen Sie für das Tensorfeld \( A^{m n}=x^{m} v^{n} \) den Ausdruck
\( t=g_{i j}^{\prime \prime} v^{\prime \prime} \frac{\partial}{\partial x^{\prime \prime k}}\left(A^{\prime \prime j k}-A^{\prime \prime k j}\right) \)
Ich komme leider schon nicht auf die richtige Matrix. Es wäre also schon eine große Hilfe wenn mir wer Punkt A erklären kann.
