Menge aller x für die Limes n-> ∞ ƒ_n (x) existiert. ƒn (x) := x^n/(1+x^n )

Question

Hallo :) Ich hoffe, dass jemand hier mich weiterhelfen kann.

Aufgabe:

Definiere ƒ_n : ℝ\{-1} -> ℝ für n ∈ ℕ durch ƒ_n (x) := xⁿ/(1+xⁿ )

1. Bestimme die Menge X aller Punkte x ∈ℝ\{-1}, für die lim n-> ∞ ƒ_n (x) existiert.

2. In welchen Punkten von X ist die Funktion f: X -> ℝ,   x ↦ lim n -> ∞ ƒ_n (x) stetig?

EDIT: Unsprüngliche Version. 2. In welchen Punkten von X ist die Funktion f: X -> ℝ,   x-> lim n -> ∞ ƒ_n (x).

Ich weiß nicht genau wir ich Aufgabe 1 lösen soll, zu 2 hätte ich einige ideen aber dafür brauche ich ja 1. 

Comments

Du meinst vermutlich nicht , was du schreibst.

ƒ_n (x) := xⁿ/1+xⁿ  

= x^n  + x^n = 2x^n 

Sondern

ƒ_n (x) := xⁿ/ (1+xⁿ )  mit der Summe im Nenner. (?) 

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Ja, genau das meine ich :)

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"2. In welchen Punkten von X ist die Funktion f: X -> ℝ,   x-> ?? lim n -> ∞ ƒ_n (x) ??. " 

Hier fehlt noch etwas bei den Fragezeichen. 

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Danke :) Das werde ich erstmal probieren.
Eigentlich nicht, so steht es auch auf dem Blatt, glaube ich.

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"2. In welchen Punkten von X ist die Funktion f: X -> ℝ,   x ↦ lim n -> ∞ ƒ_n (x) stetig. " 

Aha. Das ist ein anderer Zuordnungspfeil als gedacht und zum Schluss steht da noch "stetig?." ;) Ich habe da nun auch korrigiert. 

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Ich schlafe noch :p Ich habe gar nicht gemerkt, dass ich stetig nicht geschrieben habe. Sorry. Und echt vielen dank für die Hilfe :)

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Edit: Oh, seltsamerweise wurden bei mir keine Kommentare angezeigt, deswegen konnte ich nicht sehen, dass Lu bereits die Fallunterscheidung beschrieben hat.

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EDIT: @Yakyu: Habe nun aus der Fallunterscheidung eine Antwort gemacht, damit man sie sehen kann. Die Stetigkeit ist allerdings noch offen und wohl erst interessant, wenn 1. fertig ist. 

Answer 1

EDIT: Oben geflickt. 

1. Fall x = 0

Dann hat ƒ_n (x) := xⁿ/(1+xⁿ ) 

ƒ_n (0) := 0ⁿ/(1+0ⁿ ) = 0/1 = 0 immer den Wert 0 und f_n(0) konvergiert schon mal.

2. Fall x≠0. 

Kürze erst mal mit x^n

ƒ_n (x) := xⁿ/(1+xⁿ ) = 1/(1/x^n  + 1) 

Nun machst du eine Fallunterscheidung 

2.a) 0<x<1

2.b) x=1

2.c) x>1

und dann noch ein paar Fälle mit neg. x .

Zum Schluss weisst du dann für welche x-Werte ƒ_n (x) := xⁿ/(1+xⁿ ) konvergiert.