Isomorphismen und Basen, Fortsetzung

Question

Seien K ein Körper und V,W zwei K-Vektorräume. Beweise:

a) Ist ψ: V  → W linear und gibt es eine Basis B = (b1, . . . , bn)  ⊆ V von V, sodass ψ(b1), . . . , ψ(bn) eine Basis von W ist, dann ist ψ ein Isomorphismus.

b) Seien B ⊆  V und C ⊆ W Basen von V bzw. W. Eine Abbildung ϑ : B → C lässt sich genau dann zu einem Isomorphismus Θ: V → W fortsetzen, wenn ϑ bijektiv ist; in diesem Fall ist die Fortsetzung Θ eindeutig bestimmt.

In der Vorlesung haben wir einen Isomorphismus als bijektive lineare Abbildung definiert. Zu Aufgabe b) fällt mir der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ein, nur bezieht dieser sich auf eine Basis.

Ich bedanke mich recht herzlich schon mal.

Answer 1

Du musst zeigen:  ψ ist Injektiv und surjektiv. surjektiv:   Sei z aus W.

Dann gibt es eine Darstellung


z =  a1*ψ(b1)+a2*ψ(b1)+ .....    an*ψ(bn) 

weil die ψ(bi)  ja eine Basis von W bilden.Dann ist wegen der Linearität von ψ

ψ(a1*b1 + a2*b2 +....+ an*bn )  = z , also

hat z das Urbild   a1*b1 + a2*b2 +....+ an*bn.


Und wegen der Eindeutigkeit der Basisdarstellung,


ist dieses das einzige Urbild, also ψ Injektiv.