Hallo. Ich habe ein Paar probleme be Folgenden Aufgaben:
1) Ist \( A \in \mathbb{C^{nxn}} \) unitär und ist \( \lambda \in \mathbb{C} \) ein Eigenwert von A, so ist \( |\lambda|=1 \) mit dem Hinweis: Egenwert bedeuet, dass es ein \( v \in \mathbb{C^{n}} \) \{0} gibt mit \( A*v = \lambda*v\)
Meine Gedanken dazu: A unitär -> Spalten bilden eine Orthonormalbasis, sind also orthogonal zueinander und normiert und das Transponierte von A ist gleich dem komplex konjugierten Inversen. Ich wetter da steckt auch die Lösung nur sehe ich diese noch nicht. Soweit habe ich versucht \( A*v = \lambda*v\) anders aufzuschreiben: \( \begin{pmatrix} a_{1,1}*v_{1}+...+a_{1,n}*v_{n} \\ ... \\a_{n,1}*v_{1}+...+a_{n,n}*v_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda*v_{1}\\ ...\\ \lambda*v_{n}\end{pmatrix} \) woraus ich dann schlussfolgern wollte, dass \( a_{i,i}=\lambda, i=1,...,n\) sein muss damit diese Gleichung erfüllt ist. Es erwcheint mir zu unwahrscheinlich, dass es eine Matrix gibt, in der auch andere Werte ausser der Diagonale ungleich 0 sind, die unitär ist, ung glücklicherweise die Einträge hat, dass die Gleichung erfüllt ist. Irgendwie happert es am formalen Aufschreiben, wenn ich mit der Überlegung überhaupt recht habe.
2) \( V,W \) unitäre Vektorräume. Zu zeigen: Isometrie ist das gleiche wie Isomorphismus von unitären Vektorräumen.
Isometrie: \( f: V \to W, \forall v \in V: ||f(v)||=||v|| \)
Isomorphismus: \( \forall v,u \in V: <u,v>=<f(u),f(v)>\)
Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Habe etwas umgeschrieben: \(||f(v)||=||v|| \Leftrightarrow \sqrt{<f(v),f(v)>}=\sqrt{<v,v>} \) und nun folgt nur Bahnhof in meinem Kopf.
