Isometrie zeigen mit orthogonalen Matrizen

Question

 

Hallo liebe Mathefreunde,

komme bei der Aufgabe leider nicht weiter... Kein Ansatz, vielleicht hilft ja jemand

LG

Answer 1

siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Isometrie

zu a)

$$ d(\tau_{a}(x),\tau_{a}(y))=||(x+a)-(y+a)||=||x-y||=d(x,y) $$

zu b) für orthogonale Matrizen A gilt:

$$ ||Ax||=\sqrt {  < Ax , Ax >} = \sqrt {  (Ax)^T(Ax)}=\sqrt { x^TA^TAx}=\sqrt {  x^Tx}=||x|| $$

da $$A^TA=I$$

Damit ist dann

$$ d(\rho_{A}(x),\rho_{A}(y))=||Ax-Ay||=||A(x-y)||=||x-y||=d(x,y) $$

Comments

danke für die Antwort!
Folgende Fragen sind noch aufgekommen:
- In unserer Definition sind nur bijektive Funktionen Isometrien. Wie zeige ich die Bijektivität? Oder muss ich das nicht?

- zu b) warum ist ||Ax|| = < Ax,Ax > ? Fehlt da nicht die Wurzel aus der Norm? Insgesamt passt es dann aber ja wieder wenn ich überall die wurzel lasse, später mit dem x^Tx = ||x||.

- Warum ist (Ax)^T (Ax) = x^TA^TAx ? Laut https://de.wikipedia.org/wiki/Transponierte_Matrix unter Skalarmultiplikation ist das x•A^T • Ax.

Danke für die gute Antwort :)
LG

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In unserer Definition sind nur bijektive Funktionen Isometrien. Wie zeige ich die Bijektivität? Oder muss ich das nicht?

Musst du nicht. Jede Isometrie ist bijektiv.

zu b) warum ist ||Ax|| = < Ax,Ax > ? Fehlt da nicht die Wurzel aus der Norm? Insgesamt passt es dann aber ja wieder wenn ich überall die wurzel lasse, später mit dem x^Tx = ||x||.

Ja, da habe ich die Wurzel vergessen , ich füge sie oben noch ein.

Warum ist (Ax)^T (Ax) = x^TA^TAx

Das ist eine Rechenregel für die Transponierte eines Produkts, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Transponierte_Matrix#Produkt

Der Vektor x ist auch als Matrix aufzufassen.

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Perfekt, du hast sehr geholfen, danke!