Metrikeigenschaften nachweisen - hyperbolische Metrik

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

zum Semesterstart gibt es direkt mal wieder eine Aufgabe:

Mein Ansatz:

1. ZZ.: d_hyp = 0 <=> x=y Meine Lösung: d_hyp sei Null, dann muss ja auch ||x-y||² Null werden und das geht nur mit x=y q.e.d.

2. ZZ.: d_{hyp(x,y) =} d_hyp(y,x) Meine Lösung: Wenn man es ausschreibt und die Standardmetrik hat, dann darf man x,y ja einfach vertauschen und dadurch stimmt die Behauptung.

3. ZZ.: d_hyp(x,z) ≤ d_hyp(x,y) + d_hyp(y,z) Meine Lösung: Bisher noch keine, hat jemand eine Idee?

LG

Comments

Fehlt da nicht der Anfang ?

1. ZZ.: d_hyp (x,y)= 0 <=> x=y

Meine Lösung: 

d_hyp (x,y) = 0 = 0

<=> arcosh( 1 + δ(x,y) ) = 0 

<=>  1 + δ(x,y)  =   cosh(0 )  

<=>  1 + δ(x,y)  = 1 

<=>  δ(x,y)  = 0 und dann erst:

dann muss ja auch ||x-y||² Null werden und das geht nur mit x=y q.e.d.