Dreieicksungleichung bei einer gegebenen Metrik nachweisen

Question

ich habe eine Abbildung von d:ℝⁿ×ℝⁿ → ℝ , (x,y)↦d(x,y):=|{i∈{1,...n} : x_i≠y_i}| gegeben, d.h. d bildet zwei Vektoren x und y aus dem ℝⁿ auf eine reelle Zahl ab, die der Anzahl der ungleichen Einträge oder, anders ausgedrückt, der Kardinalität der Menge aller Indizes entspricht, für die x_i≠y_i gilt. 

Nun soll ich nachweisen, dass diese Abbildung eine Metrik ist. Und da tue ich mich beim Nachweis der Dreiecksungleichung etwas schwer. Wie kann ich schlussfolgern, dass d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) für alle x,y,z∈ℝⁿ ist?

Dabei betrachte ich nur den Fall für x≠y≠z, denn für alle anderen Fälle folgt das direkt. Könnte mir da jemand bitte einen Denkanstoß geben? 

LG

Answer 1

Hallo qwertz,

nehme an \( d(x,y) = m \) mit \( 0 \leq m \leq n\). Jetzt brauchst du nur die beiden Fälle \( d(x,z) \leq m \) und \(d(x,z) > m \) zu unterscheiden.

Gruß