Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion, Absetzbare Menge p:x → -5x+330

Question

Lernaufgaben Abitur Analysis - Hamburg:

Aus einer Marktanalyse weiß die Firmenleitung, dass der erzielbare Preis pro Tonne für das Waschmittel in Abhängigkeit von der absetzbaren Menge x durch die folgende Funktion p beschrieben werden kann: p:x → -5x+330 bzw.  p:x → -5*(x-66)

Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion E und zeigen Sie, dass E ein Maximum annimmt, wenn die produzierte Menge 33 Tonnen beträgt.

:)

Answer 1

Die Erlösfunktion E ( x ) bestimmt in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge x und dem Preis p ( x ) eines Produkts den Erlös, also die Einnahme.

Es gilt:
E ( x ) = x * p ( x )

Mit p ( x ) = - 5 x + 330 ergibt sich:

E ( x ) = x * ( - 5 x + 330 ) = - 5 x ² + 330 x

Bestimmung der möglichen Extremstellen( Bedingung: E ' ( x ) = 0 ):

E ' ( x ) = - 10 x + 330 = 0

<=> 10 x = 330

<=> x = 33

Höchstens an der Stelle x  = 33 liegt also ein Extremwert vor.

Prüfung, ob an der Stelle x = 33 Maximum vorliegt (Bedingung: E ' ' ( x ) < 0 ):

E ' ' ( x ) = - 10

Offensichtlich ist E ' ' ( x ) unabhängig von x überall kleiner als Null, also insbesondere auch an der Stelle x = 33. Damit ist gezeigt, dass die Erlösfunktion an der Stelle x = 33 ein Maximum hat.

Comments

Richtig. Begründung könnte auch sein

bei E(x) handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel die nur einen Hochpunkt hat. Dieses ist auch der Scheitelpunkt. Dann bräuchte man nicht mal mit Ableitungen hantieren und kann das Ganze mit Rechnungen der 9. Klasse machen.