Zeige, dass K: x--> x^3 - 30x^2+320x+72 keine Extremstellen besitzt

Question

Zeigen sie, dass K keine Extremstellen besitzt
...... (Aufgabe c)

Aufgabe: Der Abteilungsleiter findet in den Unterlagen seines Vorgängers den Funktionsterm für die Kostenfunktion K und stellt fest, dass alle fünf Wertepaare zum Graphen von K gehören:

$$K: x \rightarrow x^3-30x^2+320x+72$$

Zeigen Sie, dass K keine Extremstellen besitzt und erläutern Sie, warum diese Eigenschaft für eine Kostenfunktion typisch ist.

Danke schonmal !

Comments

Um ein wenig rumzumeckern: Es lässt sich keine Aussage über die Existenz von Extremstellen treffen. Dazu wäre eine Angabe des Definitionsbereiches nötig. Enthält dieser mindestens einen Randpunkt, so gäbe es durchaus eine Extremstelle.

Answer 1

Zeige, dass K: x--> x^3 - 30x^2+320x+72 keine Extremstellen besitzt.

Zur Kontrolle noch die Rechnung, die JotEs vorschlägt:

K' (x) = 3x^2 - 60x + 320 = 0 

Nun prüfen, ob die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung kleiner als 0 ist.

D = 60^2 - 4*3*320 = -240 < 0

Daher keine reelle Lösung.

Zur Erinnerung: Gemäss Formel für quadratische Gleichungen, kann unter der Wurzel eine Zahl > 0, = 0 oder <0 stehen.

x1,2 = 1/6 * (60 ± √(60^2 -4*3*320))

Je nach dem hat man nun 2, 1 resp. keine reelle Lösung.

Answer 2

Die Funktion K ( x ) ist eine Polynomfunktion und daher überall stetig und differenzierbar. Eine solche Funktion aber hat genau dort Extremstellen, wo ihre Ableitung Nullstellen hat.

Leite also die Funktion K ( x ) nach x ab, setze die Ableitung gleich Null und stelle fest, dass diese Gleichung keine reelle Lösung, die Ableitung also keine Nullstellen hat. Daraus folgt dann, dass K ( x ) keine Extremstelle hat.