Du schreibst "Ich verstehe das nicht mehr" d.h. Du hattest es mal verstanden - oder ;-)
4a) Berechne die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\). Und daraus kannst Du dann z.B. den Winkel \(\alpha\), also den Innenwinkel des Dreiecks ABC im Punkt A bestimmen. Es gilt $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} =|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos\alpha$$ Die Vektoren sind $$A=\begin{pmatrix}4 \\ 8\\0 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}2 \\ 8\\ 4\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 4\end{pmatrix}$$ also $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix}-2 \\0 \\ 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ -5\\ 4\end{pmatrix}=\sqrt{20}\cdot \sqrt{41}\cdot \cos\alpha$$ $$\implies \cos\alpha=\frac{16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{41}} \approx 0,5587$$ $$\alpha \approx 56,03°$$
Die anderen beiden Winkel schaffst Du alleine.
Die Fläche kannst Du mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnen. $$F=\frac{1}{2}\left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|=\frac{1}{2}\left| \begin{pmatrix}-2 \\0 \\ 4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\ -5\\ 4\end{pmatrix} \right|=\frac{1}{2}\left| \begin{pmatrix}20 \\8 \\ 10\end{pmatrix} \right|$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{564}\approx 11,87$$
4b) zur Volumenberechnun kannst Du das Spatprodukt heranziehen. Die abgeschnitte Ecke bildet einen Tetraeder. Volumen eines Tetraeders ist ein sechstel des Spatprodukts der den Tetraeder aufspannender Vektoren. Ergo $$V=\frac{1}{6} \det \begin{pmatrix}0 & 0& -2\\ 0& -5& 0\\ -4& 0& 0 \end{pmatrix}=\frac{20}{3}$$Und falls Du davon noch nie etwas gehört hast, so denke Dir die fehlende Ecke E. dann betrachte die Fläche CEB mit dem Flächeninhalt \( 5\cdot2 /2 =5\) und die Höhe EA=4 und dann ergibt sich genauso $$V = \frac{1}{3}\cdot G \cdot h=\frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 4=\frac{20}{3}$$
Gruß Werner
