Schnittwinkel zweier Graphen, welche Formel verwenden?

Question

Unter welchen Winkeln schneiden sich die Graphen f und h?

$$f(x)=-x^{ 2 }+2x\quad ;\quad h(x)={ x }^{ 3 }$$
$$f'(x)=-2x+2\quad ;\quad h'(x)=3{ x }^{ 2 }$$

Nach gleichsetzen erhalte ich S1(0,0) S2(1,1) S3(-2,-8)

Schnittwinkel an der Stelle S1

f'(0) = 2 --> tan(α₁) = 2 --> tan^-1(2)= 63,5°  -->  α₁= 63,5°
h'(0) = 0 --> tan(β₁) = 0 --> tan^-1(0)= 0,0° --> β₁= 0,0°

Schnittwinkel γ₁ = a₁ - b₁ falls Alpha grösser als Betta. 
So komme ich auf das richtige Resultat γ₁= 63,5

Schnittwinkel an der Stelle S2

f'(1) = 0 --> tan(α₂) = 0 --> tan^-1(0)= 0,0°  -->  α₂= 0,0°
h'(1) = 3 --> tan(β₂) = 3 --> tan^-1(3)= 71,6° --> β₂= 71,6°

Schnittwinkel (Hier ist Betta grösser als Alpha) γ₂ = β₂ - α₂ = 71,6°

Schnittwinkel an der Stelle S3

f'(-2) = 6 --> tan(α₂) = 6 --> tan^-1(6)= 80,5°  -->  α₂= 80,5°
h'(-2) = 12 --> tan(β₂) = 12 --> tan^-1(12)= 85,7° --> β₂= 85,2°

MEIN FEHLER

Schnittwinkel Achtung ! Hier ist der X-Wert Negativ (-2) die Steigung allerdings ist positiv 6 und 12. 

Ich nahm fälschlicherweise eine andere Formel im Buch für die Schnittwinkelsberechnung:

γ = 180° - (α₁ - β) Das führte zum flaschen Resultat, ich hätte γ = α − β bzw. γ = β−α (weil β > α) nehmen sollen um das richtige Resultat 4,7° zu bekommen.

Frage 1: Wann muss ich mit γ = 180° - (α₁ - β) arbeiten

und ich welchen fällen muss ich γ = α − β zur Schnittwinkelsberechnung  nehmen ?

Frage 2: Darf ich immer bei den Formeln in Frage 1 die Alphas und Bettas so vertauschen dass ich immer das Grössere minus das Kleinere rechne? Weil im Buch steht γ = α − β (sofern α > β) Was ist aber wenn β>α?

Answer 1

Du kannst eigentlich immer γ = |α − β| nehmen. Solange der Winkel gemeint ist, den die Funktionen ausgehend vom Schnittpunkt auf deren rechten Seite einschließen.

Schwierig wird das eigentlich nur wenn du 3 Punkte hast die ein Dreieck bilden und du die Innenwinkel bestimmen willst. Denn hier sind nicht immer die Schnittwinkel rechts von Schnittpunkt gemeint.

Im zweifel hilft aber eine Skizze um sich darüber klar zu werden welche Winkel gemeint sind.