an konvergente Folge nicht negativer Zahlen: lim an = a impliziert lim sqrt(an) = sqrt(a)

Question

Sei \(({(a_n)}_{n∈ℕ})\) eine konvergente Folge nicht negativer reeller Zahlen mit Limes a > 0. Beweisen Sie die folgende Aussage:

$$lim\sqrt { { a }_{ n } } =\sqrt { a } $$

Ich habe mir gedacht:

$$ \\ \forall \epsilon >0\quad \exists N\quad \forall n\ge N:\quad \left| { a }_{ n }-a \right| <\epsilon \\ { a }_{ n }-a=(\sqrt { { a }_{ n } } +\sqrt { a } )(\sqrt { { a }_{ n } } -\sqrt { a } )\\ \\ \Rightarrow \left| (\sqrt { { a }_{ n } } +\sqrt { a } )(\sqrt { { a }_{ n } } -\sqrt { a } ) \right| <\epsilon \quad \forall n\ge N$$

Und nun stehe ich auf dem Schlauch, da ich nicht weiß wie ich abschätzen soll? Ich hoffe ihr könnt mir mit ein paar Tipps behilflich sein.

Gruß

Comments

Du könntest dir folgendes überlegen: Für zwei nicht-negative reelle Zahlen \(a,b\) gilt
$$ |\sqrt{a}-\sqrt{b}| < \sqrt{|a-b|} $$

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Wenn ich annehme:

$$\forall \epsilon >0\quad \exists N\quad \forall n\ge N:\quad |{ a }_{ n }-a|<{ e }^{ 2 }$$

Geht das? Dann lässt sich daraus ja folgern:

$$|\sqrt { { a }_{ n } } -\sqrt { a } |<\sqrt { |{ a }_{ n }-a| } <\sqrt { { \epsilon  }^{ 2 } } =\epsilon$$Und das wieder um könnte man mit der Monotonie der Wurzelfunktion begründen?

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Zum ersten Teil: Ja so kann man das in etwa verwenden.

Zum zweiten Teil: Könnte man? Sehe jetzt nicht direkt, was das mit der Monotonie zu tun hat.

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Wenn x < y folgt doch daraus √x < √y da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, oder vertue ich mich damit?

Und das würde ich eben als Begründung für 

$$ \sqrt { |{ a }_{ n }-a| } <\sqrt { { e }^{ 2 } } $$

verwenden

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Achso für die rechte Ungleichung, klar das ist richtig. Du müsstest nun noch die linke zeigen.

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Also für nicht negative Zahlen ist die quadratische Funktion f(x)=x^2 ja bijektiv weswegen quadrieren und radizieren eine Äquivalenzumformung darstellt:

$$|\sqrt { x } -\sqrt { y } |=|\sqrt { y } -\sqrt { x } |\\ Sei\quad o.B.d.A.\quad x\ge y\\ \sqrt { x } -\sqrt { y } \le \sqrt { x-y } \\ \Leftrightarrow x+y-2\sqrt { xy } \le x-y\\ \Leftrightarrow -2\sqrt { xy } \le -2y\\ \Leftrightarrow \sqrt { xy } \ge y\\ \Leftrightarrow \sqrt { x } \ge \sqrt { y } $$

Und die letzte Aussage gilt auch wieder aufgrund der Monotonie. Ist das richtig soweit?

Answer 1

Hi EmNero,

Die Rückmeldung kommt zwar ein bisschen spät, aber: schöne ausführliche Erklärung.

Damit wäre die Aufgabe erledigt.
Gruß,