Exponentialfunktion Probleme

Question

Ich habe eine Funktion f(x)=e^{-x}(e^{-x}-2)

Die Aufgabe ist rechnerisch Achsenschnittpunkte, Asymptote, Extrempunkte und Wendepunkte herauszufinden.

Ich habe schon die Schnittpunkte

S(-0,68/0) S(0/-1)

Asymtote gibt es keine.

Aber bei Extremstellen komm ich nicht weiter.

Ableitung müsste f'(x)=-2e^{-2x}+2e^{-x}

Dann muss man zuerst diese auf Null setzten.

-2e^{-2x}+2e^{-x}=0    |÷2

e^{-2x}+e^{-x}=0         |ln

-2x+(-x)=ln0

Und das geht nicht, da aber ein Extrempunkt rauskommen müsste (ich hab getestet, dass wenn man x auf 0 setzt 0 raus kommt), muss ein Fehler drin sein und ich komm da nicht weiter (gleiches gold für Wendepunkte).

Hoffe jemand kann mir helfen.

Answer 1

Funktion & Ableitungen

f(x) = e^{-x}·(e^{-x} - 2) = e^{- 2·x} - 2·e^{-x}

f'(x) = 2·e^{-x} - 2·e^{- 2·x}

f''(x) = 4·e^{- 2·x} - 2·e^{-x}

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = -1

Nullstellen f(x) = 0

e^{-x}·(e^{-x} - 2) = 0

e^{-x} - 2 = 0 --> x = -LN(2) = -0.6931

Asymptote

lim (x → ∞) f(x) = 0 --> Asymptote y = 0

Extrempunkte f'(x) = 0

2·e^{-x} - 2·e^{- 2·x} = 2·e^{- 2·x}·(e^x - 1) = 0

e^x - 1 = 0 --> x = 0

f(0) = -1 --> TP(0 | -1)

Wendepunkte f''(x) = 0

4·e^{- 2·x} - 2·e^{-x} = 2·e^{- 2·x}·(2 - e^x) = 0

x = LN(2) = 0.6931

f(LN(2)) = -3/4 = -0.75

Answer 2

Hallo lophloll,

S(-0,68/0) S(0/-1)

          richtig

Asymtote gibt es keine.

     lim_x→∞ f(x) = 0 , deshalb ist die (positive) x-Achse waggrechte Asymptote

Aber bei Extremstellen komm ich nicht weiter.

Ableitung müsste f'(x)= -2e^-2x + 2e^-x

    Die ableitung ist richtig.

  2·e^-x - 2·e^-2x = 0

  2·e^-x · ( 1 - e^-x) = 0

⇔  1 - e^-x = 0  ⇔  e^-x = 1  ⇔  x = 0   (Nullstelle von f ' mit Vorzeichenwechsel von - → + )

          Bei x = 0 liegt also ein Tiefpunkt

Wendepunkte:

f "(x) = 4·e^-2x- 2·e^-x = 0  usw.

----------------

> e^-2x+e^-x=0         | ln

es macht keinen Sinn, den ln auf eine Summe anzuwenden.

 Gruß Wolfgang